8.3双曲线

高考新风向·创新考法思维引导回归本质

(2024新课标Ⅱ,19,17分,难)知双曲线C:x2-y2=m(m>0),点P1(5,4)在C上,k为常数,0

=12|Pn+1Pn|2·|Pn+1Pn+2|2?(Pn+1Pn·Pn+1Pn+2)2

=12|(xn-xn+1)(yn+2-yn+1)-(xn+2-xn+1)(yn-yn+1)|,

又∵xn-yn=(x1-y1)1+k1?kn?1=1+k1?kn?1(n=1,2,3,…),且(xn,yn)在双曲线x2-y2=9上,∴xn2?yn2=9.

∴xn+yn=9xn?yn=9·1?k1+kn?1,

令1+k1?k=p,由01,且xn?yn=pn?1,xn+yn=9p1?n,

∴xn=12(pn-1+9p1-n),yn=12(9p1-n-pn-1),

∴(xn-xn+1)(yn+2-yn+1)=14(pn-1+9p1-n-pn-9p-n)(9p-1-n-pn+1-9p-n+pn)

=14[9(1-p)2p-2+(1-p)2p2n-1-81(p-1)2p-2n-1-9(p-1)2]=14(p-1)2(9p-2-9+p2n-1-81p-2n-1),

又(xn+2-xn+1)(yn-yn+1)=14(pn+1+9p-n-1-pn-9p-n)(9p1-n-pn-1-9p-n+pn)

=14[(p-1)2p2n-1+9(p-1)2-81(1-p)2p-2n-1-9(1-p)2p-2]=14(p-1)2(9-9p-2+p2n-1-81p-2n-1),

∴S△PnPn+1Pn+2=12×14|18(p-1)2-18(1-p)2p-2|=94[(p-1)2-(1-p)2·p-2],

∴Sn=94[(p-1)2-(1-p)2·p-2]=94(p-1)21?1p2=9(p?1)2(p2?1)4p2=94·(p?1)3(p+1)p2=36k3(k+1)2(k?1)2(常数),故{Sn}为常数列,从而Sn=Sn+1.

证法二:要证Sn+1=Sn,即证S△PnPn+1Pn+2=S△Pn+1Pn+2Pn+3,

即证PnPn+3∥Pn+1Pn+2,(三角形同底等高模型)

设1+k1?k=p,同证法一得xn-yn=pn-1,

xn=12(pn-1+9p1-n),yn=12(9p1-n-pn-1),

则kPn+1Pn+2=yn+2?yn+1xn+2?xn+1=(xn+2?pn+1)?(xn+1?pn)xn+2?xn+1

=1-2pn(p?1)(pn+1+9p?n?1)?(pn+9p?n)

=1-2p2n+1p2n+1?9.

kPnPn+3=yn+3?ynxn+3?xn=(xn+3?pn+2)?(xn?pn?1)xn+3?xn

=1-2pn?1(p3?1)(pn+2+9p?n?2)?(pn?1+9p?n+1)

=1-2p2n+1p2n+1?9.

故kPn+1Pn+2=kPnPn+3,即PnPn+3∥Pn+1Pn+2,原式得证.

五年高考

考点1双曲线的定义和标准方程

1.(2021北京,5,4分,易)若双曲线x2a2?y2b2=1的离心率为2,且过点(2,3),则双曲线的方程为()

A.2x2-y2=1 B.x2-y23=1

C.5x2-3y2=1 D.x22?y26=1

答案 B

2.(2020浙江,8,4分,易)已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足|PA|-|PB|=2,且P为函数y=34?x2图象上的点,则|OP|=()

A.222 B.4105 C.7 D.10

答案 D

3.(2022天津,7,5分,中)已知双曲线x2a2?y2b2=1(a>0,b>1)的左、右焦点分别为F1,F2,抛物线y2=45x的准线l经过F1,且l与双曲线的一条渐近线交于点A.若∠F1F2A=π4,则双曲线的方程为()

A.x216?y24=1 B.x24?y216=1

C.x24?y2=1 D.x2?y24=1

答案 D

4.(2020课标Ⅰ文,11,5分,中)设F1,F2是双曲线C:x2-y23=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为()

A.72 B.3 C.52 D.2

答案 B

5.(2024天津,8,5分,中)双曲线x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2.点P在双曲线右支上,直线PF2的斜率为2.若△PF1F2是直角三角形,且面积为8,则双曲线的方程为()

A.x22?y28=1 B.x24?y28=1

C.x28?y22=1 D.x28?y24=1

答案 A

考点2双曲线的几何性质

1.(2024全国甲理,5,5分,易)已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,-4),点(-6,4)在该双曲线上,则该双曲线的离心率为()

A.4 B.3 C.2 D.2

答案 C

2.(2023全国甲理,8,5分,中)已知双曲线C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5,C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,则|AB|=()

A.55 B.255 C.355 D.455

答案 D

3.(2020课标Ⅲ理,11,5分,中)设双曲线C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为5.P是C上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4,则a=()

A.1 B.2 C.4 D.8

答案 A

4.(2020课标Ⅱ,文9,理8,5分,中)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为()

A.4 B.8 C.16 D.32

答案 B

5.(2023全国乙理,11,5分,中)设A,B为双曲线x2-y29=1上两点,下列四个点中,可以为线段AB中点的是()

A.(1,1) B.(-1,2)

C.(1,3) D.(-1,-4)

答案 D

6.(2024新课标Ⅰ,12,5分,易)设双曲线C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为.

答案32

7.(2022北京,12,5分,易)已知双曲线y2+x2m=1的渐近线方程为y=±33x,则m=.

答案 -3

8.(2023北京,12,5分,易)已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0),离心率为2,则C的方程为.

答案x22?y22=1

9.(2021全国乙文,14,5分,易)双曲线x24?y25=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为.

答案5

10.(2021新高考Ⅱ,13,5分,易)已知双曲线C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0),离心率e=2,则双曲线C的渐近线方程为,.

答案y=3x;y=-3x

11.(2021全国乙理,13,5分,易)已知双曲线C:x2m-y2=1(m>0)的一条渐近线为3x+my=0,则C的焦距为.

答案 4

12.(2022全国甲文,15,5分,中)记双曲线C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值:.

答案 2(答案不唯一,在(1,5]范围内取值均可)

13.(2023新课标Ⅰ,16,5分,中)已知双曲线C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A在C上,点B在y轴上,F1A⊥F1B,F2A=?23F2B,则C的离心率为.

答案355

三年模拟

基础强化练

1.(2024山东聊城一模,5)设F1,F2是双曲线C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是C上的一点,若C的一条渐近线的倾斜角为60°,且|PF1|-|PF2|=2,则C的焦距等于()

A.1 B.3 C.2 D.4

答案 D

2.(2025届重庆乌江新高考协作体联考,5)已知双曲线C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1且与渐近线垂直的直线与双曲线C左、右两支分别交于A,B两点,若tan∠F1BF2=512,则双曲线的离心率为...