8.4抛物线

五年高考

考点1抛物线的定义和标准方程

1.(2020课标Ⅰ理,4,5分,易)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=()

A.2 B.3

C.6 D.9

答案 C

2.(2021新高考Ⅱ,3,5分,易)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为2,则p=()

A.1 B.2

C.22 D.4

答案 B

3.(2022全国乙理,5,5分,中)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=()

A.2 B.22

C.3 D.32

答案 B

4.(2023北京,6,4分,易)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3的距离为5,则|MF|=()

A.7 B.6

C.5 D.4

答案 D

5.(2024北京,11,5分,易)抛物线y2=16x的焦点坐标为.

答案(4,0)

考点2抛物线的几何性质

1.(2020课标Ⅲ理,5,5分,中)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为()

A.14,0 B.12,0

C.(1,0) D.(2,0)

答案 B

(多选)(2024新课标Ⅱ,10,6分,中)抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上动点.过P作

☉A:x2+(y-4)2=1的一条切线,Q为切点.过P作l的垂线,垂足为B.则()

A.l与☉A相切

B.当P,A,B三点共线时,|PQ|=15

C.当|PB|=2时,PA⊥AB

D.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个

答案 ABD

3.(多选)(2023新课标Ⅱ,10,5分,中)设O为坐标原点,直线y=-3(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则()

A.p=2

B.|MN|=83

C.以MN为直径的圆与l相切

D.△OMN为等腰三角形

答案 AC

4.(多选)(2022新高考Ⅱ,10,5分,中)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0).若|AF|=|AM|,则()

A.直线AB的斜率为26

B.|OB|=|OF|

C.|AB|>4|OF|

D.∠OAM+∠OBM0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则()

A.C的准线为y=-1

B.直线AB与C相切

C.|OP|·|OQ|>|OA|2

D.|BP|·|BQ|>|BA|2

答案 BCD

6.(2023全国乙理,13,5分,易)已知点A(1,5)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为.

答案94

7.(2020新高考Ⅰ,13,5分,易)斜率为3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB|=.

答案163

8.(2021北京,12,5分,易)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点M在抛物线上,MN垂直x轴于点N.若|MF|=6,则点M的横坐标为;△MNF的面积为.

答案 5;45

9.(2021新高考Ⅰ,14,5分,中)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为.

答案x=-32

三年模拟

基础强化练

1.(2025届湖南长沙明德中学月考,8)过抛物线y2=2x上一动点P作圆C:(x-4)2+y2=r2(r为常数且r∈N*)的两条切线,切点分别为A,B,若|AB|·|PC|的最小值是43,则r=()

A.1 B.2

C.3 D.4

答案 B

2.(2024湖南衡阳三模,4)已知点F(2,0),动圆P过点F,且与x=-2相切,记动圆圆心P点的轨迹为曲线Γ,则曲线Γ的方程为()

A.y2=2x B.y2=4x

C.y2=8x D.y2=12x

答案 C

3.(2025届河北定州中学开学考,6)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,点B(3,0),C上一点A到l的距离等于|AB|,则△AFB的面积为()

A.2 B.22

C.3 D.32

答案 B

4.(2025届江苏南通名校联盟模拟,2)已知点P在抛物线x2=-5y上,且A(0,-3),则|PA|的最小值为()

A.14 B.12

C.354 D.352

答案 D

5.(2024广东深圳宝安期末,6)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在该抛物线上,点C在y轴上,若|FA|=7,|FB|=52,则|AB||BC|=()



A.83 B.72

C.73 D.3

答案 D

6.(2025届浙江金华一中月考,5)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l与C交于A,B两点,FA⊥FB,|FA|=2|FB|,则l的斜率是()

A.±1 B.±2

C.±3 D.±2

答案 D

7.(多选)(2025届河北保定部分地区模拟,10)抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l,P为C上的动点,过P作圆M:(x-a)2+(y-2)2=4的两条切线,A,B为切点,过P作l的垂线,垂足为Q,则()

A.当a=1时,l与圆M相切

B.当p2=a时,|PA|+|PQ|的最小值为22

C.当|AB|=23时,MA·MB为定值

D.存在点P,使得△PAB为等边三角形

答案 CD

8.(2025届河北“五个一”名校联盟联考,13)抛物线C:y2=4x上的动点P到直线y=x+3的距离最短时,P到C的焦点的距离为.

答案 2

9.(2025届湖南名校联合体联考,13)设抛物线y2=12x的焦点为F,经过点P(4,1)的直线l与抛物线相交于A,B两点,且点P恰为AB的中点,则|AF|+|BF|=.

答案 14

能力拔高练

1.(2024山东菏泽一中月考,7)焦点为F的抛物线C:y2=2px(p>0)的对称轴与准线交于点A,点B在抛物线C上且在第一象限,在△ABF中,3sin∠AFB=4sin∠FAB,则cos∠FBA=()

A.?7+3212 B.7?3212

C.7+3212 D.?7?3212

答案 C

2.(2024山东枣庄一模,8)已知F为抛物线E:y2=4x的焦点,△ABC的三个顶点都在E上,P为AB的中点,且CF=2FP,则|FA|+|FB|的最大值为()

A.4 B.5

C.33 D.42

答案 B

3.(2025届湖北高中名校联盟联考,8)设抛物线C:x2=2y的焦点为F,过抛物线C上的点P作C的切线交x轴于点M,若∠FPM=30°,则|FP|=()

A.23 B.2

C.2 D.3

答案 B

(2025届江苏苏州黄埭中学开学考,12)已知点A为抛物线y2=4x上一点,过A作x轴垂线交抛物线于B,过A作y轴垂线交抛物线的准线于C,设抛物线焦点为F,若∠CAF=

2∠ABC,则|AB|=.

答案 43

5.(2025届广东部分学校第二次模拟,13)已知抛物线C:y2=...