专题九计数原理

9.1计数原理、排列与组合

高考新风向·创新考法思维引导回归本质

(2024新课标Ⅱ,14,5分,难)在下图的4×4的方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有种选法.在所有符合上述要求的选法中,选中方格中的4个数之和的最大值是.



创新点本题以4×4方格为背景进行命制,考查科学分步的逻辑思维能力,以及对实际问题进行表征分析和提炼数量关系的数学建模素养,需要用分步乘法计数原理将一个复杂问题的解决过程分解为若干“步骤”,先分析每个步骤,再组合为一个完整的过程,常用的排列组合的方法对本题不适用,学习过程中要注意掌握原理的本质.

答案 24;112



五年高考

考点1两个计数原理

1.(2023新课标Ⅱ,3,5分,易)某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,则不同的抽样结果共有()

A.C40045·C20015种 B.C40020·C20040种

C.C40030·C20030种 D.C40040·C20020种

答案 D

2.(2023全国乙理,7,5分,中)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有()

A.30种 B.60种

C.120种 D.240种

答案 C

(2023新课标Ⅰ,13,5分,易)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有种(用数字作答).

答案 64

考点2排列与组合

1.(2022新高考Ⅱ,5,5分,易)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同的排列方式共有()

A.12种 B.24种 C.36种 D.48种

答案 B

2.(2020新高考Ⅰ,3,5分,易)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有()

A.120种 B.90种 C.60种 D.30种

答案 C

3.(2023全国甲理,9,5分,中)现有5名志愿者报名参加公益活动,在某一星期的星期六、星期日两天,每天从这5人中安排2人参加公益活动,则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有()

A.120种 B.60种 C.30种 D.20种

答案 B

4.(2021全国乙理,6,5分,中)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有()

A.60种 B.120种 C.240种 D.480种

答案 C

5.(2020课标Ⅱ理,14,5分,易)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有种.

答案 36

6.(2024上海,10,5分,中)设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数,且元素中任意两者之积皆为偶数,则集合中元素个数的最大值为.

答案 329

三年模拟

基础强化练

1.(2025届江苏南京六校联合调研,3)甲、乙、丙、丁去听同时举行的3个讲座,每人可自由选择听其中一个讲座,则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为()

A.6 B.12 C.18 D.24

答案 A

2.(2025届浙江名校联考,5)将6棵高度不同的景观树种植在道路两侧,要求每一侧种植3棵,且每一侧中间的景观树都要比两边的高,则不同的种植方法共有()

A.20种 B.40种 C.80种 D.160种

答案 C

3.(2025届广东深圳中学调研,2)某高校要求学生除了学习第二语言英语,还要求同时进修第三语言和第四语言,其中第三语言可从A类语言:日语,韩语,越南语,柬埔寨语中任选一个,第四语言可从E类语言:法语,德语,俄语,西班牙语,意大利语中任选一个,则学生可选取的语言组合数为()

A.20 B.25 C.30 D.35

答案 A

4.(2025届四川成都名校联考,7)某高中运动会设有8个项目,甲、乙两名学生每人随机选取3个项目,则至少选中2个相同项目的报名情况有()

A.420种 B.840种 C.476种 D.896种

答案 D

5.(2025届山西大同调研,5)五一小长假期间,某旅游公司为助力大同旅游事业的发展,计划将2名金牌导游和5名银牌导游分别派往云冈石窟、古城华严寺、北岳恒山三个景区承担义务讲解任务,要求每个景区都要有银牌导游前往,则不同的分配方法种数为()

A.360 B.640 C.1350 D.1440

答案 C

6.(2025届四川眉山仁寿一中月考,5)下列命题不正确的是()

A.正十二边形的对角线的条数是54

B.身高各不相同的六位同学,其中三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站,共有120种站法

C.有5个元素的集合的子集共有32个

D.6名同学被邀请参加晚会(至少一人参加),其中甲和乙两位同学要么都去,要么都不去,共有32种情况

答案 D

7.(多选)(2025届广东六校第二次联考,9)现安排甲、乙、丙、丁、戊这5名同学参加志愿者服务活动,有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排,且每人只安排一个工作,则下列说法正确的是()

A.不同安排方案的种数为54

B.若每项工作至少有1人参加,则不同安排方案的种数为C52A44

C.若司机工作不安排,其余三项工作至少有1人参加,则不同安排方案的种数为(C53C21+C52C32)A33

D.若每项工作至少有1人参加,甲不能从事司机工作,则不同安排方案的种数为C41C42A33+C42A33

答案 BD

8.(2025届江苏无锡玉祁高中月考,14)随着杭州亚运会的举办,吉祥物“琮琮”“莲莲”“宸宸”火遍全国.现有甲、乙、丙3位运动员要与“琮琮”“莲莲”“宸宸”站成一排拍照留念,则这3个吉祥物互不相邻的排队方法数为.(用数字作答)

答案 144

能力拔高练

1.(2024安徽池州期中,5)我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图如图,现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不相同,则不同的涂色方案种数为()



A.120 B.2...