链接高考11 圆锥曲线中的存在与探索问题——2026版53高考总复习精练册word 人教版
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链接高考11圆锥曲线中的存在与探索问题
1.(2025届湖北武汉外国语学校月考,18)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为23,且经过点A2,53.
(1)求椭圆E的方程;
(2)求∠F1AF2的平分线所在直线l的方程;
(3)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在,说明理由.
解析(1)由题意得可得4a2+259b2=1,a2=b2+c2,ca=23,解得a=3,b=5,c=2,
所以椭圆E的方程为x29+y25=1.
(2)由(1)可知,F1(-2,0),F2(2,0).
由题意可知lAF1:5x-12y+10=0,lAF2:x=2,
设角平分线所在直线上任意一点为P(x,y),则|5x?12y+10|13=|x-2|,
化简得9x-6y-8=0或2x+3y-9=0.
又易知l的斜率为正,
∴∠F1AF2的平分线所在直线l的方程为9x-6y-8=0.
(3)解法一:假设存在关于直线l对称的相异两点B(x1,y1),C(x2,y2),设lBC:y=-23x+m,
联立x29+y25=1,y=?23x+m,消去y可得9x2-12mx+9m2-45=0,
故x1+x2=4m3,x1x2=m2-5.
∵线段BC的中点2m3,5m9在l上,
∴6m-103m-8=0,解得m=3.
因此中点2,53与点A重合,舍去,
故不存在满足题设条件的相异两点.
解法二:假设存在关于直线l对称的相异两点B(x1,y1),C(x2,y2),线段BC中点M(x0,y0),
由点差法可得x129+y125=1,x229+y225=1,即x12?x229+y12?y225=0.
∴kBC=y1?y2x1?x2=?59·x1+x2y1+y2=?59·x0y0=?23,
因此kOM=y0x0=56,联立9x?6y?8=0,y=56x,可得M2,53与点A重合,舍去,
故不存在满足题设条件的相异两点.
2.(2025届安徽六校联考,18)已知椭圆C1:x2b2+y2a2=1与双曲线C2:x2a2?y2b2=1(a>b>0),C1的焦点与C2的焦点间的距离为22,b=1.
(1)求C1与C2的方程.
(2)过坐标轴上的点P可以作两条C1与C2的公切线.
(i)求点P的坐标;
(ii)当点P在y轴上时,是否存在过点P的直线l,使l与C1,C2均有两个交点?若存在,请求出l的方程;若不存在,请说明理由.
解析(1)由题意可得a2?1+a2+1=22,解得a2=4.又b=1,
所以C1:x2+y24=1,C2:x24-y2=1.
(2)(i)显然公切线的斜率存在且不为0,设公切线l0:y=kx+m(k≠0),
联立y=kx+m,x2+y24=1,消去y得(k2+4)x2+2kmx+m2-4=0,
则Δ1=4k2m2-4(m2-4)(k2+4)=4k2m2-(4k2m2+16m2-16k2-64)=16(k2-m2+4)=0,即k2+4=m2①.
联立y=kx+m,x24?y2=1,消去y得(1-4k2)x2-8kmx-(4m2+4)=0,
则Δ2=64k2m2+4(4m2+4)(1-4k2)=64k2m2+16(m2+1)(1-4k2)=16(m2-4k2+1)=0,即4k2-1=m2②.
联立①②得k2=53,m2=173,所以公切线为l0:y=±153x+513或y=±153x?513.
因为点P在坐标轴上,
所以当x=0时可得y=±513,当y=0时可得x=±855.
故满足条件的点P有4个,分别为0,513,0,?513,855,0,?855,0.
(ii)当点P在y轴上时,
假设存在直线l:y=tx±513与C1,C2均有两个交点,
由(i)知t2?m2+4=t2?53>0,m2?4t2+1=453?t2>0,不等式组无解,
所以不存在过点P的直线l与C1,C2均有两个交点.
3.(2024浙江杭州二中模拟,16)已知椭圆C:x24+y2=1,直线x+2y+4=0,P是直线l上的动点,过P作椭圆C的切线PS,PT,切点分别为S,T.
(1)当点P坐标为(2,-3)时,求直线ST的方程;
(2)求证:当点P在直线l上运动时,直线ST恒过定点M;
(3)是否存在点P使得△PST的重心恰好是椭圆的左顶点(-2,0)?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
解析(1)设S(x1,y1),T(x2,y2),P(x0,y0),
已知椭圆方程为x24+y2=1,故切线PS的方程为x1x4+y1y=1,
又点P在该直线上,所以x1x04+y1y0=1,
切线PT的方程为x2x4+y2y=1,
又点P在该直线上,所以x2x04+y2y0=1,
则点S,T都在直线x0x4+y0y=1上,即直线ST的方程是x0x4+y0y=1,
当点P坐标为(2,-3)时,x0=2,y0=-3,
所以直线ST的方程是2x4-3y=1,即x-6y-2=0.
(2)证明:由(1)知直线ST的方程是x0x4+y0y=1,
又点P在直线l上,所以x0+2y0+4=0,
得x0=-2y0-4,代入ST的方程得(?2y0?4)x4+y0y=1,
即?12x+yy0-(x+1)=0,所以?12x+y=0,x+1=0,
解得x=?1,y=?12,故直线ST恒过定点M?1,?12.
(3)由(1)知点P(-2y0-4,y0),则直线ST的方程为-(y0+2)x+2yy0=2,代入x2+4y2=4,得(y02+2y0+2)x2+2(y0+2)x+2-2y02=0,
则x1+x2=-2(y0+2)y02+2y0+2,x1x2=2?2y02y02+2y0+2,
所以-6=-2(y0+2)y02+2y0+2-2y0-4,(y0+2)2y02+2y0+2=2+y02,解得y0=0,
所以P点坐标为(-4,0).
4.(2024湖南长沙一中二模,18)如图,双曲线C1:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点F1,F2分别为双曲线C2:x24a2?y24b2=1的左、右顶点,过点F1的直线分别交双曲线C1的左、右两支于A,B两点,交双曲线C2的右支于点M(与点F2不重合),且△BF1F2与△ABF2的周长之差为2.
(1)求双曲线C1的方程.
(2)若直线MF2交双曲线C1的右支于D,E两点.
①记直线AB的斜率为k1,直线DE的斜率为k2,求k1k2的值;
②试探究:|DE|-|AB|是不是定值?并说明理由.
解析(1)设|F1F2|=2c,因为△BF1F2与△ABF2的周长之差为2,
所以|BF1|+|F1F2|-|AB|-|AF2|=|F1F2|-(|AF2|-|AF1|)=2,即2c-2a=2,
又因为F1,F2分别为双曲线C2:x24a2?y24b2=1的左、右顶点,
所以c=2a,联立c?a=1,c=2a,解得a=1,c=2,所以b2=c2-a2=3,
故双曲线C1的方程为x2-y23=1.
(2)①由(1)知,双曲线C2的方程为x24?y212=1,F1(-2,0),F2(2,0),设M(x0,y0),则x024?y0212=1,可得y02=3(x02-4),
则k1·k2=y0x0+2·y0x0?2=y02x02?4=3.
②|DE|-|AB|为定值4.
理由如下:
设直线AB的方程为y=k1(x+2),
联立y=k1(x+2),x2?y23=1,整理得(3-k12)x2-4k12x?4k12-3=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=4k123?k12,x1x2=?4k12?33?k12,
因为A,B位于双曲线的左、右两支,所以x1x2=?4k12?33?k12<0,即k12<3,
可得|AB|=(1+k12)[(x1+x2)2?4x1x2]=36(1+k12)2(3?k12)...
1.(2025届湖北武汉外国语学校月考,18)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为23,且经过点A2,53.
(1)求椭圆E的方程;
(2)求∠F1AF2的平分线所在直线l的方程;
(3)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在,说明理由.
解析(1)由题意得可得4a2+259b2=1,a2=b2+c2,ca=23,解得a=3,b=5,c=2,
所以椭圆E的方程为x29+y25=1.
(2)由(1)可知,F1(-2,0),F2(2,0).
由题意可知lAF1:5x-12y+10=0,lAF2:x=2,
设角平分线所在直线上任意一点为P(x,y),则|5x?12y+10|13=|x-2|,
化简得9x-6y-8=0或2x+3y-9=0.
又易知l的斜率为正,
∴∠F1AF2的平分线所在直线l的方程为9x-6y-8=0.
(3)解法一:假设存在关于直线l对称的相异两点B(x1,y1),C(x2,y2),设lBC:y=-23x+m,
联立x29+y25=1,y=?23x+m,消去y可得9x2-12mx+9m2-45=0,
故x1+x2=4m3,x1x2=m2-5.
∵线段BC的中点2m3,5m9在l上,
∴6m-103m-8=0,解得m=3.
因此中点2,53与点A重合,舍去,
故不存在满足题设条件的相异两点.
解法二:假设存在关于直线l对称的相异两点B(x1,y1),C(x2,y2),线段BC中点M(x0,y0),
由点差法可得x129+y125=1,x229+y225=1,即x12?x229+y12?y225=0.
∴kBC=y1?y2x1?x2=?59·x1+x2y1+y2=?59·x0y0=?23,
因此kOM=y0x0=56,联立9x?6y?8=0,y=56x,可得M2,53与点A重合,舍去,
故不存在满足题设条件的相异两点.
2.(2025届安徽六校联考,18)已知椭圆C1:x2b2+y2a2=1与双曲线C2:x2a2?y2b2=1(a>b>0),C1的焦点与C2的焦点间的距离为22,b=1.
(1)求C1与C2的方程.
(2)过坐标轴上的点P可以作两条C1与C2的公切线.
(i)求点P的坐标;
(ii)当点P在y轴上时,是否存在过点P的直线l,使l与C1,C2均有两个交点?若存在,请求出l的方程;若不存在,请说明理由.
解析(1)由题意可得a2?1+a2+1=22,解得a2=4.又b=1,
所以C1:x2+y24=1,C2:x24-y2=1.
(2)(i)显然公切线的斜率存在且不为0,设公切线l0:y=kx+m(k≠0),
联立y=kx+m,x2+y24=1,消去y得(k2+4)x2+2kmx+m2-4=0,
则Δ1=4k2m2-4(m2-4)(k2+4)=4k2m2-(4k2m2+16m2-16k2-64)=16(k2-m2+4)=0,即k2+4=m2①.
联立y=kx+m,x24?y2=1,消去y得(1-4k2)x2-8kmx-(4m2+4)=0,
则Δ2=64k2m2+4(4m2+4)(1-4k2)=64k2m2+16(m2+1)(1-4k2)=16(m2-4k2+1)=0,即4k2-1=m2②.
联立①②得k2=53,m2=173,所以公切线为l0:y=±153x+513或y=±153x?513.
因为点P在坐标轴上,
所以当x=0时可得y=±513,当y=0时可得x=±855.
故满足条件的点P有4个,分别为0,513,0,?513,855,0,?855,0.
(ii)当点P在y轴上时,
假设存在直线l:y=tx±513与C1,C2均有两个交点,
由(i)知t2?m2+4=t2?53>0,m2?4t2+1=453?t2>0,不等式组无解,
所以不存在过点P的直线l与C1,C2均有两个交点.
3.(2024浙江杭州二中模拟,16)已知椭圆C:x24+y2=1,直线x+2y+4=0,P是直线l上的动点,过P作椭圆C的切线PS,PT,切点分别为S,T.
(1)当点P坐标为(2,-3)时,求直线ST的方程;
(2)求证:当点P在直线l上运动时,直线ST恒过定点M;
(3)是否存在点P使得△PST的重心恰好是椭圆的左顶点(-2,0)?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
解析(1)设S(x1,y1),T(x2,y2),P(x0,y0),
已知椭圆方程为x24+y2=1,故切线PS的方程为x1x4+y1y=1,
又点P在该直线上,所以x1x04+y1y0=1,
切线PT的方程为x2x4+y2y=1,
又点P在该直线上,所以x2x04+y2y0=1,
则点S,T都在直线x0x4+y0y=1上,即直线ST的方程是x0x4+y0y=1,
当点P坐标为(2,-3)时,x0=2,y0=-3,
所以直线ST的方程是2x4-3y=1,即x-6y-2=0.
(2)证明:由(1)知直线ST的方程是x0x4+y0y=1,
又点P在直线l上,所以x0+2y0+4=0,
得x0=-2y0-4,代入ST的方程得(?2y0?4)x4+y0y=1,
即?12x+yy0-(x+1)=0,所以?12x+y=0,x+1=0,
解得x=?1,y=?12,故直线ST恒过定点M?1,?12.
(3)由(1)知点P(-2y0-4,y0),则直线ST的方程为-(y0+2)x+2yy0=2,代入x2+4y2=4,得(y02+2y0+2)x2+2(y0+2)x+2-2y02=0,
则x1+x2=-2(y0+2)y02+2y0+2,x1x2=2?2y02y02+2y0+2,
所以-6=-2(y0+2)y02+2y0+2-2y0-4,(y0+2)2y02+2y0+2=2+y02,解得y0=0,
所以P点坐标为(-4,0).
4.(2024湖南长沙一中二模,18)如图,双曲线C1:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点F1,F2分别为双曲线C2:x24a2?y24b2=1的左、右顶点,过点F1的直线分别交双曲线C1的左、右两支于A,B两点,交双曲线C2的右支于点M(与点F2不重合),且△BF1F2与△ABF2的周长之差为2.
(1)求双曲线C1的方程.
(2)若直线MF2交双曲线C1的右支于D,E两点.
①记直线AB的斜率为k1,直线DE的斜率为k2,求k1k2的值;
②试探究:|DE|-|AB|是不是定值?并说明理由.
解析(1)设|F1F2|=2c,因为△BF1F2与△ABF2的周长之差为2,
所以|BF1|+|F1F2|-|AB|-|AF2|=|F1F2|-(|AF2|-|AF1|)=2,即2c-2a=2,
又因为F1,F2分别为双曲线C2:x24a2?y24b2=1的左、右顶点,
所以c=2a,联立c?a=1,c=2a,解得a=1,c=2,所以b2=c2-a2=3,
故双曲线C1的方程为x2-y23=1.
(2)①由(1)知,双曲线C2的方程为x24?y212=1,F1(-2,0),F2(2,0),设M(x0,y0),则x024?y0212=1,可得y02=3(x02-4),
则k1·k2=y0x0+2·y0x0?2=y02x02?4=3.
②|DE|-|AB|为定值4.
理由如下:
设直线AB的方程为y=k1(x+2),
联立y=k1(x+2),x2?y23=1,整理得(3-k12)x2-4k12x?4k12-3=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=4k123?k12,x1x2=?4k12?33?k12,
因为A,B位于双曲线的左、右两支,所以x1x2=?4k12?33?k12<0,即k12<3,
可得|AB|=(1+k12)[(x1+x2)2?4x1x2]=36(1+k12)2(3?k12)...
