链接高考12 概率创新题——2026版53高考总复习精练册word 人教版
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链接高考12概率创新题
1.(2024河北邯郸开学考试,7)定义:我们把每个数字都比其左边数字大的正整数叫做“渐升数”,比如258,123等.在二位“渐升数”中任取一数,则该数比48小的概率为()
A.14B.13C.35D.23
答案D
2.(2024河南信阳期末,7)意大利数学家斐波那契提出了一个著名的兔子问题,得到了斐波那契数列.数列{an}满足a1=a2=1,an+2=an+an+1.现从数列的前2023项中随机抽取1项,能被3除余1的概率是()
A.2532023B.5052023C.7582023D.7592023
答案D
3.(2024河南名校联盟三模,6)有以下6个函数:①f(x)=x2-4+4-x2;②f(x)=1x;③f(x)=sinx;④f(x)=cos2x;⑤f(x)=1+x1-x;⑥f(x)=2x+3.记事件M:从中任取1个函数是奇函数;事件N:从中任取1个函数是偶函数,事件M,N的对立事件分别为M,N,则()
A.P(M)=P(M+N)-P(N)
B.P(MN)=P(M)P(N)
C.P(M+N)=P(M)+P(N)
D.P(M|N)=P(M|N)
答案D
4.(2025届浙江浙南名校联盟联考,14)“四进制”是一种以4为基数的计数系统,使用数字0,1,2,3来表示数值.四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性,对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响.四进制数转换为十进制数的方法是将每一位上的数字乘4的相应次方(从0开始),然后将所有乘积相加.例如:四进制数013转换为十进制数为0×42+1×41+3×40=7;四进制数0033转换为十进制数为0×43+0×42+3×41+3×40=15;四进制数1230转换为十进制数为1×43+2×42+3×41+0×40=108.现将所有由1,2,3组成的4位(如:1231,3211)四进制数转化为十进制数,在这些十进制数中任取一个,则这个数能被3整除的概率为.
答案13
5.(2025届广东深圳宝安调研,18)甲、乙两人参加知识竞赛活动,比赛规则如下:两人轮流随机抽题作答,答对积1分且对方不得分,答错不得分且对方积1分;然后换对方抽题作答,直到有领先2分者晋级,比赛结束.已知甲答对题目的概率为45,乙答对题目的概率为p,答对与否相互独立,抽签决定首次答题方,已知两次答题后甲、乙两人各积1分的概率为25.记甲、乙两人的答题总次数为n(n≥2).
(1)求p;
(2)当n=2时,求甲得分X的分布列及数学期望;
(3)若答题的总次数为n时,甲晋级的概率为Pn(A),证明:815≤P2(A)+P3(A)+…+Pn(A)0,f(x)在12,1内单调递增.
∴当x=12时,f(x)min=38.故概率P的最小值为38.
7.(2025届广东八校联合检测,19)马尔科夫链因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名,其过程具备“无记忆”的性质,即第n+1次状态的概率分布只跟第n次的状态有关,与第n-1,n-2,n-3,…次状态无关.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型,也是机器学习和人工智能的基石,在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有A,B两个盒子,各装有2个黑球和1个红球,现从A,B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子,重复进行n(n∈N*)次这样的操作后,记A盒子中红球的个数为Xn,恰有1个红球的概率为pn.
(1)求p1,p2的值;
(2)求pn的值(用n表示);
(3)求证:Xn的数学期望E(Xn)为定值.
解析(1)设第n(n∈N*)次操作后A盒子中恰有2个红球的概率为qn,则没有红球的概率为1-pn-qn.由题意知p1=C21C21+C11C11C31C31=59,q1=C21C11C31C31=29,
p2=p1·C21C21+C11C11C31C31+q1·C21C31C31C31+(1-p1-q1)·C31C21C31C31=4981.
(2)因为pn=pn-1·C21C21+C11C11C31C31+qn-1·C21C31C31C31+(1-pn-1-qn-1)·C31C21C31C31=-19pn-1+23.
所以pn-35=-19pn-1-35.
(解题关键是寻求pn-1、pn之间的关系,利用等比数列的定义进行求解)
又因为p1-35=-245≠0,所以pn-35是以-245为首项,-19为公比的等比数列.
所以pn-35=-245×-19n-1,pn=-245×-19n-1+35.
(3)证明:因为qn=C21C11C31C31pn-1+C11C31C31C31qn-1=29pn-1+13qn-1,①
1-qn-pn=C11C21C31C31pn-1+C31C11C31C31(1-qn-1-pn-1)=29pn-1+13(1-qn-1-pn-1),②
所以①-②,得2qn+pn-1=13(2qn-1+pn-1-1).
又因为2q1+p1-1=0,所以2qn+pn-1=0,
所以qn=1-pn2.
Xn的可能取值是0,1,2,
P(Xn=0)=1-pn-qn=1-pn2,P(Xn=1)=pn,
P(Xn=2)=qn=1-pn2.
所以Xn的概率分布列为
Xn
0
1
2
P
1-pn2
pn
1-pn2
所以E(Xn)=0×1-pn2+1×pn+2×1-pn2=1.
所以Xn的数学期望E(Xn)为定值1.
1.(2024河北邯郸开学考试,7)定义:我们把每个数字都比其左边数字大的正整数叫做“渐升数”,比如258,123等.在二位“渐升数”中任取一数,则该数比48小的概率为()
A.14B.13C.35D.23
答案D
2.(2024河南信阳期末,7)意大利数学家斐波那契提出了一个著名的兔子问题,得到了斐波那契数列.数列{an}满足a1=a2=1,an+2=an+an+1.现从数列的前2023项中随机抽取1项,能被3除余1的概率是()
A.2532023B.5052023C.7582023D.7592023
答案D
3.(2024河南名校联盟三模,6)有以下6个函数:①f(x)=x2-4+4-x2;②f(x)=1x;③f(x)=sinx;④f(x)=cos2x;⑤f(x)=1+x1-x;⑥f(x)=2x+3.记事件M:从中任取1个函数是奇函数;事件N:从中任取1个函数是偶函数,事件M,N的对立事件分别为M,N,则()
A.P(M)=P(M+N)-P(N)
B.P(MN)=P(M)P(N)
C.P(M+N)=P(M)+P(N)
D.P(M|N)=P(M|N)
答案D
4.(2025届浙江浙南名校联盟联考,14)“四进制”是一种以4为基数的计数系统,使用数字0,1,2,3来表示数值.四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性,对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响.四进制数转换为十进制数的方法是将每一位上的数字乘4的相应次方(从0开始),然后将所有乘积相加.例如:四进制数013转换为十进制数为0×42+1×41+3×40=7;四进制数0033转换为十进制数为0×43+0×42+3×41+3×40=15;四进制数1230转换为十进制数为1×43+2×42+3×41+0×40=108.现将所有由1,2,3组成的4位(如:1231,3211)四进制数转化为十进制数,在这些十进制数中任取一个,则这个数能被3整除的概率为.
答案13
5.(2025届广东深圳宝安调研,18)甲、乙两人参加知识竞赛活动,比赛规则如下:两人轮流随机抽题作答,答对积1分且对方不得分,答错不得分且对方积1分;然后换对方抽题作答,直到有领先2分者晋级,比赛结束.已知甲答对题目的概率为45,乙答对题目的概率为p,答对与否相互独立,抽签决定首次答题方,已知两次答题后甲、乙两人各积1分的概率为25.记甲、乙两人的答题总次数为n(n≥2).
(1)求p;
(2)当n=2时,求甲得分X的分布列及数学期望;
(3)若答题的总次数为n时,甲晋级的概率为Pn(A),证明:815≤P2(A)+P3(A)+…+Pn(A)0,f(x)在12,1内单调递增.
∴当x=12时,f(x)min=38.故概率P的最小值为38.
7.(2025届广东八校联合检测,19)马尔科夫链因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名,其过程具备“无记忆”的性质,即第n+1次状态的概率分布只跟第n次的状态有关,与第n-1,n-2,n-3,…次状态无关.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型,也是机器学习和人工智能的基石,在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有A,B两个盒子,各装有2个黑球和1个红球,现从A,B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子,重复进行n(n∈N*)次这样的操作后,记A盒子中红球的个数为Xn,恰有1个红球的概率为pn.
(1)求p1,p2的值;
(2)求pn的值(用n表示);
(3)求证:Xn的数学期望E(Xn)为定值.
解析(1)设第n(n∈N*)次操作后A盒子中恰有2个红球的概率为qn,则没有红球的概率为1-pn-qn.由题意知p1=C21C21+C11C11C31C31=59,q1=C21C11C31C31=29,
p2=p1·C21C21+C11C11C31C31+q1·C21C31C31C31+(1-p1-q1)·C31C21C31C31=4981.
(2)因为pn=pn-1·C21C21+C11C11C31C31+qn-1·C21C31C31C31+(1-pn-1-qn-1)·C31C21C31C31=-19pn-1+23.
所以pn-35=-19pn-1-35.
(解题关键是寻求pn-1、pn之间的关系,利用等比数列的定义进行求解)
又因为p1-35=-245≠0,所以pn-35是以-245为首项,-19为公比的等比数列.
所以pn-35=-245×-19n-1,pn=-245×-19n-1+35.
(3)证明:因为qn=C21C11C31C31pn-1+C11C31C31C31qn-1=29pn-1+13qn-1,①
1-qn-pn=C11C21C31C31pn-1+C31C11C31C31(1-qn-1-pn-1)=29pn-1+13(1-qn-1-pn-1),②
所以①-②,得2qn+pn-1=13(2qn-1+pn-1-1).
又因为2q1+p1-1=0,所以2qn+pn-1=0,
所以qn=1-pn2.
Xn的可能取值是0,1,2,
P(Xn=0)=1-pn-qn=1-pn2,P(Xn=1)=pn,
P(Xn=2)=qn=1-pn2.
所以Xn的概率分布列为
Xn
0
1
2
P
1-pn2
pn
1-pn2
所以E(Xn)=0×1-pn2+1×pn+2×1-pn2=1.
所以Xn的数学期望E(Xn)为定值1.
