链接高考2 三次函数的性质综合——2026版53高考总复习精练册word 人教版
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链接高考2三次函数的性质综合
1.(2025届浙江杭州月考,4)已知三次函数f(x)的零点从小到大依次为m,0,2,其图象在x=-1处的切线l经过点(2,0),则m=()
A.-85 B.?2 C.?53 D.?32
答案 B
2.(多选)(2025届河北沧州质量监测,10)设函数f(x)=(x+1)2(x-2),则()
A.x=1是f(x)的极小值点
B.f(x)的极大值为1
C.当x∈?32,?12时,-4≤f(2x+3)0,b=0,当且仅当-23a4恒成立,求实数λ的取值范围.
解析(1)f'(x)=3x2+2ax+b.
在3x+y-5=0中,令x=1,得y=2,即f(1)=2,
根据题意有f'(2)=12+4a+b=0,f'(1)=3+2a+b=?3,f(1)=1+a+b+c=2,解得a=?3,b=0,c=4.
(2)由(1)知f(x)=x3-3x2+4,
f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),
x2时,f'(x)>0,04,因此t,s都是唯一的实数.
f(1+x)+f(1-x)=(1+x)3-3(1+x)2+4+(1-x)3-3(1-x)2+4
=1+3x+3x2+x3-3(1+2x+x2)+4+1-3x+3x2-x3-3(1-2x+x2)+4
=4,所以f(x)的图象关于点(1,2)对称,而f(s)+f(t)=4,
又(t,-1)和(s,5)都是y=f(x)图象上唯一的点,
所以s+t=2,f(s+t)=f(2)=0.
(3)x2-2x+4=(x-1)2+3≥3,当且仅当x=1时,x2-2x+4=3,
所以f(x2-2x+4)≥f(3)=4=f(0),且x≤3时,f(x)≤4,
由f(x2-2x+4)+f(x2+λx)>4恒成立,得f(x2-2x+4)>4-f(x2+λx)(*),
又y=f(x)的图象关于点(1,2)对称,所以f(2-x)=4-f(x),
所以不等式(*)可化为f(x2-2x+4)>f(2-x2-λx),
所以x2-2x+4>2-x2-λx,所以2x2+(λ-2)x+2>0恒成立,
则Δ=(λ-2)2-160,解关于x的不等式f'(x)>(3a+6)x2-(a+9)x+4.
解析(1)对f(x)=2x3-3x2+3x-2求导得f'(x)=6x2-6x+3,
则f″(x)=12x-6,令f″(x)=0,可得x=12,
又f12=2×123?3×122+3×12-2=-1,
所以f(x)图象的对称中心为12,?1,
故由函数图象的对称性知f(x)+f(1-x)=-2,
设m=f12024+f22024+…+f20232024,
则m=f20232024+f20222024+…+f12024,
又因为f12024+f20232024=f22024+f20222024=…=f20112024+f20132024=2f20122024,
所以2m=2023×(-2)=-4046,故m=-2023.
(2)由(1)可知f'(x)=6x2-6x+3,
所以将不等式f'(x)>(3a+6)x2-(a+9)x+4化为3ax2-(a+3)x+10,
即(3x-1)(ax-1)3时,解得1a3时,不等式的解集为x|1a
1.(2025届浙江杭州月考,4)已知三次函数f(x)的零点从小到大依次为m,0,2,其图象在x=-1处的切线l经过点(2,0),则m=()
A.-85 B.?2 C.?53 D.?32
答案 B
2.(多选)(2025届河北沧州质量监测,10)设函数f(x)=(x+1)2(x-2),则()
A.x=1是f(x)的极小值点
B.f(x)的极大值为1
C.当x∈?32,?12时,-4≤f(2x+3)0,b=0,当且仅当-23a4恒成立,求实数λ的取值范围.
解析(1)f'(x)=3x2+2ax+b.
在3x+y-5=0中,令x=1,得y=2,即f(1)=2,
根据题意有f'(2)=12+4a+b=0,f'(1)=3+2a+b=?3,f(1)=1+a+b+c=2,解得a=?3,b=0,c=4.
(2)由(1)知f(x)=x3-3x2+4,
f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),
x2时,f'(x)>0,04,因此t,s都是唯一的实数.
f(1+x)+f(1-x)=(1+x)3-3(1+x)2+4+(1-x)3-3(1-x)2+4
=1+3x+3x2+x3-3(1+2x+x2)+4+1-3x+3x2-x3-3(1-2x+x2)+4
=4,所以f(x)的图象关于点(1,2)对称,而f(s)+f(t)=4,
又(t,-1)和(s,5)都是y=f(x)图象上唯一的点,
所以s+t=2,f(s+t)=f(2)=0.
(3)x2-2x+4=(x-1)2+3≥3,当且仅当x=1时,x2-2x+4=3,
所以f(x2-2x+4)≥f(3)=4=f(0),且x≤3时,f(x)≤4,
由f(x2-2x+4)+f(x2+λx)>4恒成立,得f(x2-2x+4)>4-f(x2+λx)(*),
又y=f(x)的图象关于点(1,2)对称,所以f(2-x)=4-f(x),
所以不等式(*)可化为f(x2-2x+4)>f(2-x2-λx),
所以x2-2x+4>2-x2-λx,所以2x2+(λ-2)x+2>0恒成立,
则Δ=(λ-2)2-160,解关于x的不等式f'(x)>(3a+6)x2-(a+9)x+4.
解析(1)对f(x)=2x3-3x2+3x-2求导得f'(x)=6x2-6x+3,
则f″(x)=12x-6,令f″(x)=0,可得x=12,
又f12=2×123?3×122+3×12-2=-1,
所以f(x)图象的对称中心为12,?1,
故由函数图象的对称性知f(x)+f(1-x)=-2,
设m=f12024+f22024+…+f20232024,
则m=f20232024+f20222024+…+f12024,
又因为f12024+f20232024=f22024+f20222024=…=f20112024+f20132024=2f20122024,
所以2m=2023×(-2)=-4046,故m=-2023.
(2)由(1)可知f'(x)=6x2-6x+3,
所以将不等式f'(x)>(3a+6)x2-(a+9)x+4化为3ax2-(a+3)x+10,
即(3x-1)(ax-1)3时,解得1a3时,不等式的解集为x|1a