链接高考4 导数中的双变量问题——2026版53高考总复习精练册word 人教版
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链接高考4导数中的双变量问题
1.(2024江苏盐城模拟,17)已知函数f(x)=x2eax,其中a>0.
(1)若f(x)在(0,2]上单调递增,求a的取值范围;
(2)当a=1时,若x1+x2=4且00,故a的取值范围为(0,1].
(2)f(x1)0,∴h(t)在(0,2)上单调递增,∴h(t)>h(0)=0,
∴ln2+t2?t>t,00.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)函数f(x)的图象上是否存在两点A(x1,y1),B(x2,y2)(其中x1≠x2),使得直线AB与函数f(x)的图象在x0=x1+x22处的切线平行?若存在,请求出直线AB;若不存在,请说明理由.
解析(1)由题得函数f(x)的定义域为(0,+∞),(1分)
求导得f'(x)=ax+1-2a-2x=ax2+(1?2a)x?2x=(x?2)(ax+1)x,(4分)
因为a>0,
所以由f'(x)>0,得x>2;由f'(x)0且t≠1,
记g(t)=lnt-2(t?1)t+1,即g(t)=lnt+4t+1-2,t>0且t≠1,
求导得g'(t)=1t?4(t+1)2=(t+1)2?4tt(t+1)2=(t?1)2t(t+1)2>0恒成立,
所以g(t)在(0,1),(1,+∞)上单调递增,(14分)
因为g(1)=0,所以g(t)≠0在t∈(0,1)∪(1,+∞)上恒成立,
所以不存在这样的两点A,B.(15分)
3.(2025届四川成都月考,19)已知函数f(x)=1+lnxax,其中e为自然对数的底数.
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间.
(2)若方程f(x)=1有两个不同的根x1,x2.
(i)求a的取值范围;
(ii)证明:x12+x22>2.
解析(1)由题意得f(x)=1+lnxx,x∈(0,+∞),
则f'(x)=-lnxx2,由f'(x)=0,解得x=1.
当00,f(x)单调递增;
当x>1时,f'(x)1时,g(x)>0,且当x→+∞时,g(x)→0,所以当0x22≥4>2,即x12+x22>2;
当x2∈(1,2)时,2-x2∈(0,1).
设p(x)=g(x)-g(2-x)=lnxx+1x?ln(2?x)2?x?12?x,0?lnxx2?ln(2?x)x2=?ln[?(x?1)2+1]x2>0,所以p(x)在区间(0,1)内单调递增,
则p(x)g(x1)=g(x2),
又x1∈(0,1),2-x1>1,x2>1,g(x)在区间(1,+∞)内单调递减,
所以2-x12,又x1≠x2,所以x12+x22>2x1x2,
故2x12+2x22>x12+x22+2x1x2=(x1+x2)2>4,所以x12+x22>2,得证.
综上,x12+x22>2.
4.(2025届广东广州三校期中联考,18)已知函数f(x)=lnx+a2x2-x+2(a∈R).
(1)若函数f(x)在定义域上单调递增,求a的取值范围;
(2)若a=0,求证:f(x)0,当x>1时,f'(x)0,所以g'(x)=4(x2?2x)ex?2x4=4(x?2)ex?2x3,
令g'(x)=0,解得x=2,所以当02时,g'(x)>0,所以g(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以g(x)≥g(2)=1,当且仅当x=2时,等号成立,
所以f(x)≤1≤g(x),又等号不同时成立,所以f(x)0,所以h(t)在(0,1)上单调递增,则h(t)
即lnt
1.(2024江苏盐城模拟,17)已知函数f(x)=x2eax,其中a>0.
(1)若f(x)在(0,2]上单调递增,求a的取值范围;
(2)当a=1时,若x1+x2=4且00,故a的取值范围为(0,1].
(2)f(x1)0,∴h(t)在(0,2)上单调递增,∴h(t)>h(0)=0,
∴ln2+t2?t>t,00.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)函数f(x)的图象上是否存在两点A(x1,y1),B(x2,y2)(其中x1≠x2),使得直线AB与函数f(x)的图象在x0=x1+x22处的切线平行?若存在,请求出直线AB;若不存在,请说明理由.
解析(1)由题得函数f(x)的定义域为(0,+∞),(1分)
求导得f'(x)=ax+1-2a-2x=ax2+(1?2a)x?2x=(x?2)(ax+1)x,(4分)
因为a>0,
所以由f'(x)>0,得x>2;由f'(x)0且t≠1,
记g(t)=lnt-2(t?1)t+1,即g(t)=lnt+4t+1-2,t>0且t≠1,
求导得g'(t)=1t?4(t+1)2=(t+1)2?4tt(t+1)2=(t?1)2t(t+1)2>0恒成立,
所以g(t)在(0,1),(1,+∞)上单调递增,(14分)
因为g(1)=0,所以g(t)≠0在t∈(0,1)∪(1,+∞)上恒成立,
所以不存在这样的两点A,B.(15分)
3.(2025届四川成都月考,19)已知函数f(x)=1+lnxax,其中e为自然对数的底数.
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间.
(2)若方程f(x)=1有两个不同的根x1,x2.
(i)求a的取值范围;
(ii)证明:x12+x22>2.
解析(1)由题意得f(x)=1+lnxx,x∈(0,+∞),
则f'(x)=-lnxx2,由f'(x)=0,解得x=1.
当00,f(x)单调递增;
当x>1时,f'(x)1时,g(x)>0,且当x→+∞时,g(x)→0,所以当0x22≥4>2,即x12+x22>2;
当x2∈(1,2)时,2-x2∈(0,1).
设p(x)=g(x)-g(2-x)=lnxx+1x?ln(2?x)2?x?12?x,0?lnxx2?ln(2?x)x2=?ln[?(x?1)2+1]x2>0,所以p(x)在区间(0,1)内单调递增,
则p(x)g(x1)=g(x2),
又x1∈(0,1),2-x1>1,x2>1,g(x)在区间(1,+∞)内单调递减,
所以2-x12,又x1≠x2,所以x12+x22>2x1x2,
故2x12+2x22>x12+x22+2x1x2=(x1+x2)2>4,所以x12+x22>2,得证.
综上,x12+x22>2.
4.(2025届广东广州三校期中联考,18)已知函数f(x)=lnx+a2x2-x+2(a∈R).
(1)若函数f(x)在定义域上单调递增,求a的取值范围;
(2)若a=0,求证:f(x)0,当x>1时,f'(x)0,所以g'(x)=4(x2?2x)ex?2x4=4(x?2)ex?2x3,
令g'(x)=0,解得x=2,所以当02时,g'(x)>0,所以g(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以g(x)≥g(2)=1,当且仅当x=2时,等号成立,
所以f(x)≤1≤g(x),又等号不同时成立,所以f(x)0,所以h(t)在(0,1)上单调递增,则h(t)
即lnt