链接高考6 三角形中的 爪型 模型——2026版53高考总复习精练册word 人教版
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链接高考6三角形中的“爪型”模型
1.(2025届湖南邵阳二中开学考,7)如图,在△ABC中,已知AB=2,AC=5,∠BAC=60°,BC,AC边上的两条中线AM,BN相交于点P,则∠MPN的余弦值是()
A.69191 B.49191
C.59191 D.79191
答案 B
(2025届山东菏泽一中开学考,6)在△ABC中,D为边BC上一点,
∠DAC=2π3,AD=4,AB=2BD,且△ADC的面积为43,则sin∠ABD=()
A.15?38 B.15+38
C.5?34 D.5+34
答案 A
3.(2025届江苏苏州大学附中月考,13)△ABC中,∠BAC=120°,AD为∠BAC的平分线,D点在线段BC上,则AB+4ACAD的最小值为.
答案 9
(2025届江苏徐州三中开学考,14)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
∠ABC=120°,BD⊥BC交AC于点D,且BD=1,则2a+c的最小值为.
答案833
5.(2024安徽池州一中一模,14)在△ABC中,AB=2AC,AD是∠BAC的平分线,且△ABC的面积为1,当BC最短时,ADAC=.
答案2105
6.(2024安徽滁州三模,15)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2bcosC-c=2a.
(1)求B的大小;
(2)若a=3,且AC边上的中线长为192,求△ABC的面积.
解析(1)∵2bcosC-c=2a,
∴由余弦定理的推论得2b·a2+b2?c22ab-c=2a,
化简得a2+c2-b2=-ac,∴cosB=a2+c2?b22ac=?12.
∵B∈(0,π),∴B=2π3.
(2)令AC的中点为D,则BD=192,BD=12(BA+BC),
平方得,BD2=194=14(BA+BC)2=14(a2+c2+2accos∠ABC)=14(9+c2-3c).
整理得c2-3c-10=0,解得c=5(负值舍去).
∴S△ABC=12acsin∠ABC=1534.
7.(2025届湖北宜昌协作体期中,18)已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中a=2,sinB+sinC=2sinA.
(1)若cosA=45,求△ABC的面积;
(2)若△ABC是锐角三角形,D为BC边的中点,求AD长的取值范围.
解析(1)∵sinB+sinC=2sinA,∴由正弦定理得b+c=2a=4.
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2bc(1+cosA),
即4=16-185bc,∴bc=103,
∵cosA=45,A∈(0,π),∴sinA=1?cos2A=35,
∴S△ABC=12bcsinA=12×103×35=1.
(2)由(1)知b+c=4,则c=4-b.
∵△ABC是锐角三角形,∴cosA>0,cosB>0,cosC>0,
∴b2+c2>a2,c2+a2>b2,a2+b2>c2,即b2+(4?b)2>4,(4?b)2+4>b2,4+b2>(4?b)2,解得323A,故02B,则π40.
则C=2A-B或C+2A-B=π,
若C=2A-B,则A=π3;
若C+2A-B=π,则A=2B,又A≤B,∴不符合题意,舍去.
综上所述,A=π3.
(2)∵BD∶DC=1∶2,∴AD=AB+13BC=AB+13(AC?AB)=23AB+13AC.∴AD2=23AB+13AC2,
整理得b2+4c2+2bc=36①,又a2=b2+c2-bc②,
∴①÷②得:36a2=4c2+b2+2bcb2+c2?bc=4cb2+2cb+1cb2?cb+1,
令cb=x,∵A≤B,∴a≤b,∴a2≤b2,∴b2+c2-bc≤b2,
(因为a2=b2+c2-bc,a2≤b2,所以b2+c2-bc≤b2)
∴c≤b,∴0
令f(x)=4x2+2x+1x2?x+1=4+6x?3x2?x+1(0
令6x-3=t,则x=t+36,
令g(t)=4+36tt2+27(-3
当t=0时,g(t)=4;当t≠0时,g(t)=4+36t+27t(-3
由对勾函数性质可得当0
∴1
所以当△ABC为等边三角形时a最小,最小值为677.
1.(2025届湖南邵阳二中开学考,7)如图,在△ABC中,已知AB=2,AC=5,∠BAC=60°,BC,AC边上的两条中线AM,BN相交于点P,则∠MPN的余弦值是()
A.69191 B.49191
C.59191 D.79191
答案 B
(2025届山东菏泽一中开学考,6)在△ABC中,D为边BC上一点,
∠DAC=2π3,AD=4,AB=2BD,且△ADC的面积为43,则sin∠ABD=()
A.15?38 B.15+38
C.5?34 D.5+34
答案 A
3.(2025届江苏苏州大学附中月考,13)△ABC中,∠BAC=120°,AD为∠BAC的平分线,D点在线段BC上,则AB+4ACAD的最小值为.
答案 9
(2025届江苏徐州三中开学考,14)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
∠ABC=120°,BD⊥BC交AC于点D,且BD=1,则2a+c的最小值为.
答案833
5.(2024安徽池州一中一模,14)在△ABC中,AB=2AC,AD是∠BAC的平分线,且△ABC的面积为1,当BC最短时,ADAC=.
答案2105
6.(2024安徽滁州三模,15)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2bcosC-c=2a.
(1)求B的大小;
(2)若a=3,且AC边上的中线长为192,求△ABC的面积.
解析(1)∵2bcosC-c=2a,
∴由余弦定理的推论得2b·a2+b2?c22ab-c=2a,
化简得a2+c2-b2=-ac,∴cosB=a2+c2?b22ac=?12.
∵B∈(0,π),∴B=2π3.
(2)令AC的中点为D,则BD=192,BD=12(BA+BC),
平方得,BD2=194=14(BA+BC)2=14(a2+c2+2accos∠ABC)=14(9+c2-3c).
整理得c2-3c-10=0,解得c=5(负值舍去).
∴S△ABC=12acsin∠ABC=1534.
7.(2025届湖北宜昌协作体期中,18)已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中a=2,sinB+sinC=2sinA.
(1)若cosA=45,求△ABC的面积;
(2)若△ABC是锐角三角形,D为BC边的中点,求AD长的取值范围.
解析(1)∵sinB+sinC=2sinA,∴由正弦定理得b+c=2a=4.
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2bc(1+cosA),
即4=16-185bc,∴bc=103,
∵cosA=45,A∈(0,π),∴sinA=1?cos2A=35,
∴S△ABC=12bcsinA=12×103×35=1.
(2)由(1)知b+c=4,则c=4-b.
∵△ABC是锐角三角形,∴cosA>0,cosB>0,cosC>0,
∴b2+c2>a2,c2+a2>b2,a2+b2>c2,即b2+(4?b)2>4,(4?b)2+4>b2,4+b2>(4?b)2,解得323A,故02B,则π40.
则C=2A-B或C+2A-B=π,
若C=2A-B,则A=π3;
若C+2A-B=π,则A=2B,又A≤B,∴不符合题意,舍去.
综上所述,A=π3.
(2)∵BD∶DC=1∶2,∴AD=AB+13BC=AB+13(AC?AB)=23AB+13AC.∴AD2=23AB+13AC2,
整理得b2+4c2+2bc=36①,又a2=b2+c2-bc②,
∴①÷②得:36a2=4c2+b2+2bcb2+c2?bc=4cb2+2cb+1cb2?cb+1,
令cb=x,∵A≤B,∴a≤b,∴a2≤b2,∴b2+c2-bc≤b2,
(因为a2=b2+c2-bc,a2≤b2,所以b2+c2-bc≤b2)
∴c≤b,∴0
令f(x)=4x2+2x+1x2?x+1=4+6x?3x2?x+1(0
令6x-3=t,则x=t+36,
令g(t)=4+36tt2+27(-3
当t=0时,g(t)=4;当t≠0时,g(t)=4+36t+27t(-3
由对勾函数性质可得当0
∴1
所以当△ABC为等边三角形时a最小,最小值为677.
