2025年高考北京数学真题（解析卷） 人教版
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2025年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学
本试卷共12页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.集合，则（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出集合，再根据集合的交集运算即可解出.
【详解】因为，所以，
故选：D.
2.已知复数z满足，则（）
A.B.C.4D.8
【答案】B
【解析】
【分析】先求出复数，再根据复数模的公式即可求出．
【详解】由可得，，所以，
故选：B.
3.双曲线的离心率为（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】先将双曲线方程化成标准方程，求出，即可求出离心率．
【详解】由得，，所以，
即，所以，
故选：B．
4.为得到函数图象，只需把函数的图象上的所有点（）
A.横坐标变成原来的倍，纵坐标不变B.横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变
C.纵坐标变成原来的倍，横坐标不变D.纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变
【答案】A
【解析】
【分析】由，根据平移法则即可解出．
【详解】因为，所以将函数的图象上所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象，
故选：A
5.已知是公差不为0的等差数列，，若成等比数列，则（）
A.B.C.16D.18
【答案】C
【解析】
【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，
因为成等比数列，且，
所以，即，解得或（舍去），
所以.
故选：C.
6.已知，则（）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】由基本不等式结合特例即可判断.
【详解】对于A,当时，，故A错误；
对于BD，取，此时，
，故BD错误；
对于C，由基本不等式可得，故C正确.
故选：C.
7.已知函数的定义域为D，则“函数的值域为”是“对任意，存在，使得”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解.
【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得，
取，则，充分性成立；
取，，则对任意，一定存在，使得，
取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立；
所以“函数的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件.
故选：A.
8.设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（）
A.8B.6C.4D.3
【答案】C
【解析】
【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解.
【详解】函数，
设函数的最小正周期为T，由可得，
所以，即；
又函数在上存在零点，且当时，，
所以，即；
综上，的最小值为4.
故选：C.
9.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间（单位：小时），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（单位：小时）（）
A.2B.4C.20D.40
【答案】B
【解析】
【分析】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解.
【详解】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为,
由题意，，
，
，
因为，所以，
所以，
所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时.
故选：B.
10.已知平面直角坐标系中，，，设，则的取值范围是（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据，求出，进而可以用向量表示出，即可解出．
【详解】因为，，
由平方可得，，所以．
，，
所以，
，
又，即，
所以，即，
故选：D.
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11.抛物线的顶点到焦点的距离为3，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线的几何性质可求的值.
【详解】因为抛物线的顶点到焦距的距离为，故，故，
故答案为：.
12.已知，则________；________．
【答案】①.②.
【解析】
【分析】利用赋值法可求，利用换元法结合赋值法可求的值.
【详解】令，则，
又，
故，
令，则，
令，则，故
故答案为：.
13.已知，且，，写出满足条件的一组________，_________．
【答案】①.（答案不唯一）②.（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据角的三角函数的关系可得角的等量关系，从而可得满足条件的一组解.
【详解】因为，，
所以的终边关于轴，且不与轴重合，
故且，
即，
故取可满足题设要求；
故答案为：，（答案不唯一）
14.某科技兴趣小组通过3D打印机的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平行多边形，平面平面ABC，平面平面ABC，，，若，则该多面体的体积为________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，将一半的几何体分割成直三棱柱和四棱锥后结合体积公式可求几何体的体积.
【详解】先证明一个结论：如果平面平面，平面平面，平面，则.
证明：设，，在平面取一点，，
在平面内过作直线，使得，作直线，使得，
因为平面平面，，故，而，故，
同理，而，故.
下面回归问题.
连接，因...
数学
本试卷共12页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.集合，则（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出集合，再根据集合的交集运算即可解出.
【详解】因为，所以，
故选：D.
2.已知复数z满足，则（）
A.B.C.4D.8
【答案】B
【解析】
【分析】先求出复数，再根据复数模的公式即可求出．
【详解】由可得，，所以，
故选：B.
3.双曲线的离心率为（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】先将双曲线方程化成标准方程，求出，即可求出离心率．
【详解】由得，，所以，
即，所以，
故选：B．
4.为得到函数图象，只需把函数的图象上的所有点（）
A.横坐标变成原来的倍，纵坐标不变B.横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变
C.纵坐标变成原来的倍，横坐标不变D.纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变
【答案】A
【解析】
【分析】由，根据平移法则即可解出．
【详解】因为，所以将函数的图象上所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象，
故选：A
5.已知是公差不为0的等差数列，，若成等比数列，则（）
A.B.C.16D.18
【答案】C
【解析】
【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，
因为成等比数列，且，
所以，即，解得或（舍去），
所以.
故选：C.
6.已知，则（）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】由基本不等式结合特例即可判断.
【详解】对于A,当时，，故A错误；
对于BD，取，此时，
，故BD错误；
对于C，由基本不等式可得，故C正确.
故选：C.
7.已知函数的定义域为D，则“函数的值域为”是“对任意，存在，使得”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解.
【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得，
取，则，充分性成立；
取，，则对任意，一定存在，使得，
取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立；
所以“函数的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件.
故选：A.
8.设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（）
A.8B.6C.4D.3
【答案】C
【解析】
【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解.
【详解】函数，
设函数的最小正周期为T，由可得，
所以，即；
又函数在上存在零点，且当时，，
所以，即；
综上，的最小值为4.
故选：C.
9.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间（单位：小时），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（单位：小时）（）
A.2B.4C.20D.40
【答案】B
【解析】
【分析】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解.
【详解】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为,
由题意，，
，
，
因为，所以，
所以，
所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时.
故选：B.
10.已知平面直角坐标系中，，，设，则的取值范围是（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据，求出，进而可以用向量表示出，即可解出．
【详解】因为，，
由平方可得，，所以．
，，
所以，
，
又，即，
所以，即，
故选：D.
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11.抛物线的顶点到焦点的距离为3，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线的几何性质可求的值.
【详解】因为抛物线的顶点到焦距的距离为，故，故，
故答案为：.
12.已知，则________；________．
【答案】①.②.
【解析】
【分析】利用赋值法可求，利用换元法结合赋值法可求的值.
【详解】令，则，
又，
故，
令，则，
令，则，故
故答案为：.
13.已知，且，，写出满足条件的一组________，_________．
【答案】①.（答案不唯一）②.（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据角的三角函数的关系可得角的等量关系，从而可得满足条件的一组解.
【详解】因为，，
所以的终边关于轴，且不与轴重合，
故且，
即，
故取可满足题设要求；
故答案为：，（答案不唯一）
14.某科技兴趣小组通过3D打印机的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平行多边形，平面平面ABC，平面平面ABC，，，若，则该多面体的体积为________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，将一半的几何体分割成直三棱柱和四棱锥后结合体积公式可求几何体的体积.
【详解】先证明一个结论：如果平面平面，平面平面，平面，则.
证明：设，，在平面取一点，，
在平面内过作直线，使得，作直线，使得，
因为平面平面，，故，而，故，
同理，而，故.
下面回归问题.
连接，因...
