第10节 圆锥曲线的切线与光学性质

知识拓展

1.圆锥曲线的切线问题常用方法有:

(1)几何法:比如求圆的切线,常用圆心到直线的距离等于半径来解决切线问题;

(2)代数法:比如涉及椭圆的切线问题,也常常联立直线与椭圆的方程根据Δ=0来求解;比如涉及抛物线的切线问题,有时也可以通过求导求解;

(3)结论法(适用于小题):

①圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)处的切线方程是x0x+y0y=r2;其外一点P(x0,y0)所引两条切线切点弦方程是x0x+y0y=r2.

②椭圆x2a2+y2b2=(a>b>0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是x0xa2+y0yb2=1;其外一点P(x0,y0)所引两条切线切点弦方程是x0xa2+y0yb2=1.

③双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是x0xa2-y0yb2=1;其外一点P(x0,y0)所引两条切线切点弦方程是x0xa2-y0yb2=1.

④抛物线y2=2px(p>0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0y=p(x+x0);其外一点P(x0,y0)所引两条切线方程是y0y=p(x+x0).

注:替换的规则是x2→x0x,y2→y0y,x→x0+x2,y→y0+y2.



2.圆锥曲线的光学性质

(1)抛物线的光学性质:如图1所示,从抛物线的焦点F发出的光线,被抛物线反射后,得到的是一系列的与抛物线对称轴平行(或重合)的光线;如图2所示,设抛物线在P处的切线l交对称轴于点Q,PM⊥切线l交对称轴于点M,则焦点F是QM的中点.

(2)椭圆的光学性质:如图3所示,从椭圆的一个焦点发出的光线,被椭圆反射后,必定经过另一个焦点;如图4所示,椭圆在点P处的切线为l,直线PQ⊥l交直线F1F2于点Q,则PQ平分∠F1PF2,由角平分线性质定理,PF1|PF2|=QF1|QF2|.



(3)双曲线的光学性质:如图5所示,从双曲线一个焦点发出的光线,被双曲线反射后,反射光线的反向延长线交于另一个焦点,如图6所示,双曲线在点P处的切线l与直线F1F2相交于点Q,则PQ平分∠F1PF2,由角平分线性质定理,PF1|PF2|=QF1|QF2|.



题型一切线问题

例1已知椭圆方程为x24+y23=1,求该椭圆在点P1,32处的切线方程.

解法一由题意可知切线的斜率存在,

所以设切线方程为y-32=k(x-1),

将y-32=k(x-1)代入x24+y23=1中得,

3x2+4k(x-1)+322=12,

化简整理得(3+4k2)x2+(12k-8k2)x+4k2-12k-3=0,

令Δ=(12k-8k2)2-4(3+4k2)(4k2-12k-3)=0,

化简整理得36k2+36k+9=0,

即4k2+4k+1=0,解得k=-12,

所以切线方程为y-32=-12(x-1),

即x+2y-4=0.

法二因为P在第一象限,x24+y23=1可化为y=3·1-x24,

y'=3·-12x21-x24=-34x1-x24.

当x=1时,k=y'|x=1=-12,

所以切线方程为y-32=-12(x-1),

即x+2y-4=0.

法三由x2a2+y2b2=1的切线为x0xa2+y0yb2=1,

得过1,32的切线方程为1·x4+32·y3=1,

整理得x+2y-4=0.

思维建模求切线的两种情况

(1)在曲线上某点的切线,用几何法(圆)、联立方程组法、导数法以及结论法可进行求解,其中结论适用于小题,解答时需要证明.

(2)过曲线上某点的切线,一般用联立方程组,判别式法来求斜率,但需讨论斜率的存在与否.

训练1(1)(2025·青岛调研)圆x2+y2=r2在点(x0,y0)处的切线方程为x0x+y0y=r2,类似地,可以求得椭圆x28+y22=1在点(2,1)处的切线方程为.

答案x+2y-4=0

解析x2+y2=r2在点(x0,y0)处的切线方程为x0x+y0y=r2,

类比得到x2a2+y2b2=1在点(x0,y0)处的切线方程为x0xa2+y0yb2=1,

故椭圆x28+y22=1在点(2,1)处的切线方程为2x8+y2=1,即x+2y-4=0.

(2)过点P(2,2)作抛物线y2=2x的切线l,切线l在y轴上的截距为.

答案1

解析设切线斜率为k,则切线方程为y-2=k(x-2),

联立方程y-2=k(x-2),y2=2x,

可得ky2-2y-4k+4=0,

则Δ=4-4k(-4k+4)=0,

解得k=12,

即切线方程为y-2=12(x-2),

取x=0,得y=1,∴切线l在y轴上的截距为1.

题型二切点弦问题

例2(2025·成都诊断)已知点P是直线l:y=-2上一个动点,过点P作轨迹E:x2=8y的两条切线,焦点为F,切点分别为A,B.

求证:(1)直线AB过定点;

(2)∠PFA=∠PFB.

证明(1)由x2=8y得y=18x2,∴y'=14x,

设Ax1,18x12,Bx2,18x22,P(t,-2),其中x1≠x2,

则切线PA的方程为y-18x12=x14(x-x1),

即y=14x1x-18x12,

同理,切线PB的方程为y=14x2x-18x22,

由y=14x1x-18x12,y=14x2x-18x22,解得x=x1+x22,y=x1x28,

∴t=x1+x22,-2=x1x28,即x1+x2=2t,x1x2=-16,

∴直线AB的方程为

y-18x12=18x22-18x12x2-x1(x-x1),

化简得y=x1+x28x-x1x28,

即y=t4x+2,

故直线AB过定点(0,2).

(2)由(1)知直线AB的斜率为kAB=t4,

①当直线PF的斜率不存在时,直线AB的方程为y=2,

∴PF⊥AB,∴∠PFA=∠PFB;

②当直线PF的斜率存在时,

∵P(t,-2),F(0,2),

∴直线PF的斜率kPF=-2-2t-0=-4t,

∴kAB·kPF=t4·-4t=-1,

∴PF⊥AB,∴∠PFA=∠PFB.

综上所述,∠PFA=∠PFB得证.

思维建模1.圆的切点弦方程可由以圆外点为圆心,切线长为半径的圆与该圆方程相减求得.

2.切点弦问题常涉及弦方程、弦长、弦过定点以及最值、范围问题.

训练2(1)过点M(0,-4)作圆C:x2+y2+2x-6y+6=0的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为()

A.2x-y+3=0B.x-7y+18=0

C.2x-5y+5=0D.x+5y+5=0

答案B

解析根据题意,可知圆x2+y2+2x-6y+6=0的圆心为C(-1,3),半径r=2,过点M(0,-4)作圆x2+y2+2x-6y+6=0的两条切线,设切点分别为A,B,

而|MC|=12+72=52,

则|MA|=|MC|2-4=46,

则以M为圆心,MA为半径为圆为x2+(y+4)2=46,

即圆x2+y2+8y-30=0,

所以AB为两圆的公共弦所在的直线,

则有x2+y2+2x-6y+6=0,x2+y2+8y-30=0,

作差变形可得x-7y+18=0;

即直线AB的方程为x-7y+18=0.

(2)(2025·杭州调研)已知F为椭圆C:x23+y22=1的右焦点,点A是直...