第10节 概率与函数、数列（2026版创新设计高考数学总复习配套word文档教师版） 人教版
- 草料大小:182K
- 草料种类:试卷
- 种草时间:2025/6/23 15:12:00
- 小草编号：4610659
- 种 草 人:太阳花，欢迎分享资料。
- 采摘:1 片叶子 0 朵小花
- 版权声明:资料版权归原作者，如侵权请联系删除
- 论文写作：职称论文及课题论文写作（提供查重报告）
- 论文发表：淘宝交易，先发表再确认付款。
下载地址::（声明：本站为非盈利性网站。资料版权为原作者所有，如侵权请联系均无条件删除）
资料下载说明::请下完一个再下另外一个，谢谢！
文件简介::
第10节概率与函数、数列
题型分析近几年高考重视在知识交汇处命题,通过综合运用函数、数列等知识解决概率统计实际问题,突出知识间的综合应用.解决概率统计与函数的交汇问题的关键在于利用函数的单调性确定最优解;解决概率与数列的交汇问题的关键在于找出概率pn或均值E(Xn)的递推公式,利用数列的性质、求和公式等解决问题,该问题的实质仍是以概率统计为主导.
题型一概率与函数
例1(2023·新高考Ⅱ卷)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:
利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(c).假设数据在组内均匀分布,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1)当漏诊率p(c)=0.5%时,求临界值c和误诊率q(c);
(2)设函数f(c)=p(c)+q(c).当c∈[95,105]时,求f(c)的解析式,并求f(c)在区间[95,105]上的最小值.
解(1)由题图知(100-95)×0.002=1%>0.5%,
所以95c)=(100-97.5)×0.01+5×0.002=0.035=3.5%.
(2)当95≤c≤100时,
p(c)=(c-95)×0.002=0.002c-0.19,
q(c)=(100-c)×0.01+5×0.002=-0.01c+1.01,
所以f(c)=p(c)+q(c)=-0.008c+0.82;
当1000,m∈N*)处各有一个吸收壁,当点到达吸收壁时被吸收,不再游走.于是,p0=0,pm=1.随机游走模型是一个典型的马尔可夫过程.
进一步,若点在某个位置后有三种情况:向左平移一个单位,其概率为a;原地不动,其概率为b;向右平移一个单位,其概率为c,那么根据全概率公式可得pi=api+1+bpi+cpi-1.
典例(2023·新高考Ⅰ卷)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中,则此人继续投篮;若未命中,则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率;
(2)求第i次投篮的人是甲的概率;
(3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,则E(n∑i=1Xi)=n∑i=1qi.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y).
解(1)第2次投篮的人是乙分为两种情况:
第1次投篮的人是甲且投篮未命中,其概率为0.5×(1-0.6)=0.2;
第1次投篮的人是乙且投篮命中,其概率为0.5×0.8=0.4,
所以第2次投篮的人是乙的概率为0.2+0.4=0.6.
(2)设第i次投篮的人是甲为事件Ai,
则P(A1)=0.5,P(Ai+1)=P(Ai)×0.6+[1-P(Ai)]×(1-0.8)=25P(Ai)+15,
所以P(Ai+1)-13=25P(Ai)-13,
所以P(Ai)-13是以16为首项,25为公比的等比数列,
所以P(Ai)-13=16×25i-1,
所以P(Ai)=13+16×25i-1,i∈N*.
(3)由(2)知,第i次投篮的人是甲的概率为
P(Ai)=13+16×25i-1,i∈N*,
第i次投篮的人是甲记为Xi=1,否则记为Xi=0,则Xi服从两点分布,
且P(Xi=1)=13+16×25i-1,
由题意知E(Y)=E(n∑i=1Xi)=n∑i=1qi
=n∑i=1P(Xi=1)=n∑i=113+16×25i-1
=6n+518-19·25n-1.
1.(2025·河北名校联盟模拟)如图,某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏:将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的中间入口处,小球将自由下落,小球在下落的过程中,将3次遇到黑色障碍物,已知小球每次遇到黑色障碍物时,向左、右两边下落的概率都是12,最后落入A袋或B袋中.一次游戏中小球落入A袋记1分,落入B袋记2分,游戏可以重复进行.游戏过程中累计得n(n∈N*)分的概率为pn.
(1)求p1,p2,p3;
(2)写出pn与pn-1(n∈N*且n≥2)之间的递推关系,并求出{pn}的通项公式.
解(1)小球3次碰撞全部向左偏或者全部向右偏时落入B袋中,
此概率P(B)=C30123+C33123=14,
则小球落入A袋中的概率
P(A)=1-P(B)=1-14=34,
故p1=P(A)=34,
p2=342+14=1316,
p3=343+C21×14×34=5164.
(2)法一游戏过程中累计得不到n分,只可能在得到(n-1)分后的一次游戏中小球落入B袋中,
故1-pn=14pn-1(n∈N*且n≥2),
即pn=1-14pn-1(n∈N*且n≥2).
由pn=1-14pn-1(n∈N*且n≥2),
得pn-45=-14pn-1-45(n∈N*且n≥2),
故pn-45为等比数列,
且首项为p1-45=34-45=-120,公比为-14,
故pn-45=-120×-14n-1=15×-14n,
故pn=15×-14n+45(n∈N*).
法二游戏过程中累计得n分可以分为两种情况:
得到(n-2)分后的一次游戏中小球落入B袋中,或得到(n-1)分后的一次游戏中小球落入A袋中,
故pn=34pn-1+14pn-2(n∈N*且n≥3),
即pn+14pn-1=pn-1+14pn-2(n∈N*且n≥3),
故pn+14pn-1(n∈N*且n≥2)为常数数列,
且p2+14p1=1,
故pn+14pn-1=1(n∈N*且n≥2),
即pn=1-14pn-1(n∈N*且n≥2).
下同法一.
2.某篮球队为提高队员训练的积极性,进行小组投篮游戏,每个小组由两名队员组成,队员甲与队员乙组成一个小组.游戏规则如下:每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次,每小组投进的次数之和不少于3的称为“神投小组”,已知甲、乙两名队员投进篮球的概率分别为p1,p2.
(1)若p1=12,p2=23,求他们在第一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率;
(2)已知p1+p2=65,则当p1,p2取何值时能使得甲、乙两名队员在一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率最大?并求出此时的最大概率.
解(1)每小组投进的次数之和不少于3的称为“神投小组”,
则可能的情况有①甲投中一次,乙投中两次;②甲投中两次,乙投中一次;③甲投中两次,乙投中两次.
∵p1=12,p2=23,
∴他们在第一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率为
C21×12×12×232+122×C21×23×13+122×232=49.
(2)由题意得他们在一轮游戏中获得“神投小组...
题型分析近几年高考重视在知识交汇处命题,通过综合运用函数、数列等知识解决概率统计实际问题,突出知识间的综合应用.解决概率统计与函数的交汇问题的关键在于利用函数的单调性确定最优解;解决概率与数列的交汇问题的关键在于找出概率pn或均值E(Xn)的递推公式,利用数列的性质、求和公式等解决问题,该问题的实质仍是以概率统计为主导.
题型一概率与函数
例1(2023·新高考Ⅱ卷)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:
利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(c).假设数据在组内均匀分布,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1)当漏诊率p(c)=0.5%时,求临界值c和误诊率q(c);
(2)设函数f(c)=p(c)+q(c).当c∈[95,105]时,求f(c)的解析式,并求f(c)在区间[95,105]上的最小值.
解(1)由题图知(100-95)×0.002=1%>0.5%,
所以95c)=(100-97.5)×0.01+5×0.002=0.035=3.5%.
(2)当95≤c≤100时,
p(c)=(c-95)×0.002=0.002c-0.19,
q(c)=(100-c)×0.01+5×0.002=-0.01c+1.01,
所以f(c)=p(c)+q(c)=-0.008c+0.82;
当1000,m∈N*)处各有一个吸收壁,当点到达吸收壁时被吸收,不再游走.于是,p0=0,pm=1.随机游走模型是一个典型的马尔可夫过程.
进一步,若点在某个位置后有三种情况:向左平移一个单位,其概率为a;原地不动,其概率为b;向右平移一个单位,其概率为c,那么根据全概率公式可得pi=api+1+bpi+cpi-1.
典例(2023·新高考Ⅰ卷)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中,则此人继续投篮;若未命中,则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率;
(2)求第i次投篮的人是甲的概率;
(3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,则E(n∑i=1Xi)=n∑i=1qi.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y).
解(1)第2次投篮的人是乙分为两种情况:
第1次投篮的人是甲且投篮未命中,其概率为0.5×(1-0.6)=0.2;
第1次投篮的人是乙且投篮命中,其概率为0.5×0.8=0.4,
所以第2次投篮的人是乙的概率为0.2+0.4=0.6.
(2)设第i次投篮的人是甲为事件Ai,
则P(A1)=0.5,P(Ai+1)=P(Ai)×0.6+[1-P(Ai)]×(1-0.8)=25P(Ai)+15,
所以P(Ai+1)-13=25P(Ai)-13,
所以P(Ai)-13是以16为首项,25为公比的等比数列,
所以P(Ai)-13=16×25i-1,
所以P(Ai)=13+16×25i-1,i∈N*.
(3)由(2)知,第i次投篮的人是甲的概率为
P(Ai)=13+16×25i-1,i∈N*,
第i次投篮的人是甲记为Xi=1,否则记为Xi=0,则Xi服从两点分布,
且P(Xi=1)=13+16×25i-1,
由题意知E(Y)=E(n∑i=1Xi)=n∑i=1qi
=n∑i=1P(Xi=1)=n∑i=113+16×25i-1
=6n+518-19·25n-1.
1.(2025·河北名校联盟模拟)如图,某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏:将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的中间入口处,小球将自由下落,小球在下落的过程中,将3次遇到黑色障碍物,已知小球每次遇到黑色障碍物时,向左、右两边下落的概率都是12,最后落入A袋或B袋中.一次游戏中小球落入A袋记1分,落入B袋记2分,游戏可以重复进行.游戏过程中累计得n(n∈N*)分的概率为pn.
(1)求p1,p2,p3;
(2)写出pn与pn-1(n∈N*且n≥2)之间的递推关系,并求出{pn}的通项公式.
解(1)小球3次碰撞全部向左偏或者全部向右偏时落入B袋中,
此概率P(B)=C30123+C33123=14,
则小球落入A袋中的概率
P(A)=1-P(B)=1-14=34,
故p1=P(A)=34,
p2=342+14=1316,
p3=343+C21×14×34=5164.
(2)法一游戏过程中累计得不到n分,只可能在得到(n-1)分后的一次游戏中小球落入B袋中,
故1-pn=14pn-1(n∈N*且n≥2),
即pn=1-14pn-1(n∈N*且n≥2).
由pn=1-14pn-1(n∈N*且n≥2),
得pn-45=-14pn-1-45(n∈N*且n≥2),
故pn-45为等比数列,
且首项为p1-45=34-45=-120,公比为-14,
故pn-45=-120×-14n-1=15×-14n,
故pn=15×-14n+45(n∈N*).
法二游戏过程中累计得n分可以分为两种情况:
得到(n-2)分后的一次游戏中小球落入B袋中,或得到(n-1)分后的一次游戏中小球落入A袋中,
故pn=34pn-1+14pn-2(n∈N*且n≥3),
即pn+14pn-1=pn-1+14pn-2(n∈N*且n≥3),
故pn+14pn-1(n∈N*且n≥2)为常数数列,
且p2+14p1=1,
故pn+14pn-1=1(n∈N*且n≥2),
即pn=1-14pn-1(n∈N*且n≥2).
下同法一.
2.某篮球队为提高队员训练的积极性,进行小组投篮游戏,每个小组由两名队员组成,队员甲与队员乙组成一个小组.游戏规则如下:每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次,每小组投进的次数之和不少于3的称为“神投小组”,已知甲、乙两名队员投进篮球的概率分别为p1,p2.
(1)若p1=12,p2=23,求他们在第一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率;
(2)已知p1+p2=65,则当p1,p2取何值时能使得甲、乙两名队员在一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率最大?并求出此时的最大概率.
解(1)每小组投进的次数之和不少于3的称为“神投小组”,
则可能的情况有①甲投中一次,乙投中两次;②甲投中两次,乙投中一次;③甲投中两次,乙投中两次.
∵p1=12,p2=23,
∴他们在第一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率为
C21×12×12×232+122×C21×23×13+122×232=49.
(2)由题意得他们在一轮游戏中获得“神投小组...
