第10节 函数与方程

课标要求1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理,并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解.



【知识梳理】

1.函数的零点

(1)概念:对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.

(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系:



2.函数零点存在定理

(1)条件:①函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线;②f(a)·f(b)0的零点个数为()

A.3B.2

C.7D.0

答案B

解析由x≤0,x2+x-2=0,或x>0,-1+lnx=0,

解得x=-2或x=e,

故f(x)有2个零点.

3.(北师大必修一P132T3(2)改编)函数f(x)=log2x+x-2的零点所在的区间为()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

答案B

解析函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,

且f(1)=-1,f(2)=1,则f(1)f(2)0,

即f(1)f(2)2时,f(x)>f(2)>0,

∴f(x)在区间(2,3)和(3,4)上无零点,C错误,D错误.

(2)若a0,

f(b)=(b-c)(b-a)0.

所以f(a)f(b)0,f(2)>0,f(3)=ln3-(3-2)=1.099-1=0.099>0,f(4)=ln4-2=1.386-20,

所以a∈(2,3),即n=2.

考点二函数零点个数的判断

例2(1)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是()

A.0B.1

C.2D.3

答案B

解析法一∵f(0)f(1)=(-1)×1=-10,g(2)=m0,

所以函数g(x)在(-∞,-1)上的值域为0,43.

因此,实数a的取值范围是0,43.

思维建模已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路

(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的取值范围.

(2)分离参数法:将参数分离,转化成求函数值域的问题加以解决.

(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.

训练3(1)(2025·榆林模拟)已知函数f(x)=(x2-4x+m)(4x3-m-1)恰有3个零点,则整数m的取值个数是()

A.1B.2

C.3D.4

答案B

解析令f(x)=(x2-4x+m)(4x3-m-1)=0,

得m=-x2+4x或m=4x3-1.

作出g(x)=-x2+4x,h(x)=4x3-1的图象,如图所示.



这两个函数图象的交点坐标为(0,0),(3,3),

因为g(x)max=4,h(x)>-1,所以由图可知m的取值范围是(-1,0)∪(0,3)∪(3,4).

故整数m=1或2,即整数m的取值个数为2.

(2)函数f(x)=2alog2x+a·4x+3在区间12,1上有零点,则实数a的取值范围是()

A.a0时,由于函数y=2alog2x,y=a·4x+3在12,1上均单调递增,

此时函数f(x)在12,1上单调递增;

当a0,-x+1|+1,x≤0,则函数g(x)=f(f(x)-1)的零点个数为()

A.3B.5

C.6D.8

答案B

解析依题意,函数g(x)=f(f(x)-1)零点的个数,即为方程f(f(x)-1)=0根的个数,

令f(x)-1=t,则f(t)=0,

当t>0时,lnt-1t=0,

令h(t)=lnt-1t,t>0,

因为函数y=lnt,y=-1t均在(0,+∞)上单调递增,

所以函数h(t)在(0,+∞)上单调递增,

又h(1)=-10,

则存在t1∈(1,e),使得h(t1)=0.

当t≤0时,令-|t+1|+1=0,

解得t=0或t=-2,

作出函数f(x)=lnx-1x,x>0,-x+1|+1,x≤0

的大致图象,如图.



又f(x)-1=t,

则f(x)=t+1.

当t=0时,f(x)=1,

由y=f(x)的图象知,方程f(x)=1有2个根;

当t=-2时,f(x)=-1,由y=f(x)的图象知,方程f(x)=-1有2个根;

当t=t1,t1∈(1,e)时,f(x)=t1+1∈(2,e+1),

由y=f(x)的图象知,方程f(x)=t1+1有1个根.

综上所述,函数g(x)=f(f(x)-1)的零点个数为5.

二、由嵌套函数零点的情况求参数

例2(2025·郑州模拟)已知函数f(x)=x+1,x≤0,x-1x,x>0.若关于x的方程[f(x)]2+(m-4)f(x)+2(2-m)=0有五个不同的实数根,则实数m的取值范围是()

A.[1,3)B.(0,2)

C.[1,2)D.(0,1)

答案C

解析设h(x)=x-1x,x>0,

则h'(x)=1+1x2>0,

则h(x)在(0,+∞)上单调递增,h(1)=0,

作出f(x)的大致图象如图所示.



令t=f(x),则t2+(m-4)t+2(2-m)=0,

则t1=2,t2=2-m.

由图可知,直线y=2与f(x)的图象有2个交点,

所以直线y=2-m与f(x)的图象必须有3个交点,

则01时,f'(x)>0,f(x)单调递增,

可得f(x)在x=1处取得最小值,最小值为-1,且f(0)=1,

作出函数f(x)的图象,



g(x)=3[f(x)]2-10f(x)+3,

可令g(t)=0,t=f(x),

可得3t2-10t+3=0,

解得t=3或13,

当t=13,即f(x)=13时,g(x)有三个零点;

当t=3时,可得f(x)=3有一个实根,

即g(x)有一个零点,

综上,g(x)共有四个零点.

(2)函数f(x)=ln(-x-1),xt1),

则t10的零点的个数为()

A.0B.1

C.2D.3

答案C

解析当x≤0时,令x2+2x-3=0,

则(x-1)(x+3)=0,解得x=1(舍去)或x=-3.

当x>0时,令ex-2=0,解得x=ln2,

所以f(x)的零点个数为2.

2.(2025·河北部分重点高中模拟)已知函数f(x)=3x+x-6有一个零点x=x0,则x0∈()

A.12,1B.1,32

C.32,2D.2,52

答案B

解析由题知f(x)在R上单调递增,

∵f12=3-1120,∴f32>0,

由零点存在定理可知,在1,32上存在x0使得f(x0)=0.

3.(2025·衡阳联考)f(x)=ex-x-2必存在零点的区间是()

A.(-1,0)B.(0,1)

C.(1,2)D.(2,3)

答案C

解析令f(x)=ex-x-2=0,可得ex=x+2,

可知f(x)的零点即为y=ex与y=x+2图象交点的横坐标,

在同一坐标系内作出y=ex与y=x+2的大致图象,如图所示.



又f(-1)=1e-10,f(3)=e3-5>0,

可知y=ex与y=x+2的图象在(1,2)内有交点,在(-1,0),(0,1)和(2,3)内均...