第10节 解三角形的综合应用（2026版创新设计高考数学总复习配套word文档教师版） 人教版
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第10节 解三角形的综合应用
题型分析高考中解三角形的综合应用问题主要涉及的题型有:(1)利用正弦定理、余弦定理求解平面多边形中的边、角、面积问题.(2)结合基本不等式、三角形恒等变换求解三角形中的最值(范围)问题.(3)利用正弦、余弦定理和三角恒等变换证明三角形中的恒等式.
题型一多边形中的解三角形问题
例1如图所示,四边形ABCD为圆O的内接四边形,其中AB=2,BC=3,CD=22,DA=1.
(1)求sinD的值;
(2)求四边形ABCD的面积及圆O的半径.
解(1)连接AC,
因为四边形ABCD为圆内接四边形,
所以∠B+∠D=π,所以cosB=-cosD.
在△ABC中,由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB,
可得AC2=2+9+2×2×3cosD=11+62cosD.
在△ADC中,由余弦定理AC2=AD2+DC2-2AD·DCcosD,
可得AC2=1+8-2×1×22cosD
=9-42cosD.
所以11+62cosD=9-42cosD,
得cosD=-210,
又D∈(0,π),所以sinD=1-cos2D=7210.
(2)由(1)知,sinD=7210,
因为∠B+∠D=π,所以sinB=sinD=7210,
所以S△ABC=12AB·BCsinB
=12×2×3×7210=2110,
S△ADC=12AD·DCsinD
=12×1×22×7210=75,
所以四边形ABCD的面积S=S△ABC+S△ADC=2110+75=72.
结合(1)得,AC2=11+62cosD
=11+62×-210=495,
所以AC=755,
设四边形ABCD外接圆的半径为R,
可得2R=ACsinB=7557210=10,
所以四边形ABCD外接圆的半径R=102.
思维建模平面几何中解三角形问题的求解思路
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形,然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解;
(2)寻找各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件,求出结果.
训练1如图,在平面四边形ABCD中,BC=3,BE⊥AC于点E,BE=2,且△ACD的面积为△ABC面积的2倍.
(1)求AD·sin∠DAC的值;
(2)当CD=3时,求线段DE的长.
解(1)∵S△ACD=12·AC·AD·sin∠DAC,
S△ABC=12·AC·BE,S△ACD=2S△ABC,
∴12·AC·AD·sin∠DAC=AC·BE.
∴AD·sin∠DAC=2·BE=22.
(2)由题可得CE=1.
在△ACD中,CDsin∠DAC=ADsin∠ACD,
∴AD·sin∠DAC=CD·sin∠ACD=22.
又CD=3,∴sin∠ACD=223,
∴cos∠ACD=±1-89=±13.
在△CDE中,DE2=CE2+CD2-2·CE·CD·cos∠ACD.
当cos∠ACD=13时,
DE2=12+32-2×1×3×13=8,∴DE=22.
当cos∠ACD=-13时,
DE2=12+32-2×1×3×-13=12,
∴DE=23.
综上,DE=22或23.
题型二三角形中的最值(范围)问题
例2(2025·长沙联考)如图,在△ABC中,有cosB+12-sinB=0.
(1)求∠B的大小;
(2)直线BC绕点C顺时针旋转π6与AB的延长线交于点D,若△ABC为锐角三角形,AB=2,求CD长度的取值范围.
解(1)由cosB+12-sinB=0得cosB+12=sinB,
两边平方得cosB+12=sin2B,
将sin2B+cos2B=1代入整理得2cos2B+cosB-1=0,
解得cosB=12或cosB=-1,
因为B∈(0,π),所以B=π3.
(2)由(1)知∠ABC=π3,
则∠CBD=2π3,
由题意可知∠BCD=π6,
则∠D=π6.
设BC=a,则BD=BC=a.
在△BCD中,由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2BD·BCcos∠DBC=a2+a2-2a·a·-12=3a2,
则CD=3a.
在△ABC中,由正弦定理得BCsinA=ABsin∠ACB,
所以a=2sinAsin∠ACB=2sinπ3+∠ACBsin∠ACB=3cos∠ACB+sin∠ACBsin∠ACB=3tan∠ACB+1.
因为△ABC为锐角三角形,
所以0b,则A>B;
(2)请用余弦定理证明:若A>B,则a>b.
证明(1)由asinA=bsinB,
a>b得sinA>sinB.
①若A,B∈0,π2,则由y=sinx在0,π2上单调递增,得A>B.
②若A∈0,π2,B∈π2,π,则sinA>sinB=sin(π-B),
此时π-B∈0,π2,由y=sinx在0,π2上单调递增,
得A>π-B?A+B>π,舍去.
③若B∈0,π2,A∈π2,π,
则sinA=sin(π-A)>sinB,
此时π-A∈0,π2,由y=sinx在0,π2上单调递增,得π-A>B,A+BB成立.
综上,若a>b,则A>B.
(2)由y=cosx在(0,π)上单调递减,
得cosA0,a+b-c>0,因此a>b.
1.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,cos2π2+A+cosA=54.
(1)求A;
(2)若b-c=33a,证明:△ABC是直角三角形.
(1)解由已知得sin2A+cosA=54,
即cos2A-cosA+14=0.
所以cosA-122=0,cosA=12.
由于0
(2)证明由正弦定理及已知条件可得
sinB-sinC=33sinA.
由(1)知B+C=2π3,
所以sinB-sin2π3-B=33sinπ3,
即12sinB-32cosB=12,sinB-π3=12.
由于0
从而△ABC是直角三角形.
2.(2025·北京海淀区模拟)从条件①b-ccosA=a(3sinC-1);②sin(A+B)·cosC-π6=34中任选一个,补充在下面横线中,并加以解答.
在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,.
(1)求角C的大小;
(2)设D为边AB的中点,求CD2a2+b2的最大值.
解(1)若选条件①:由正弦定理得
sinB-sinCcosA=sinA(3sinC-1),
∴sin(A+C)-sinCcosA
=sinAcosC+cosAsinC-sinCcosA
=sinAcosC=sinA(3sinC-1),
∵A∈(0,π),∴sinA≠0,
∴cosC=3sinC-1,
即3sinC-cosC=2sinC-π6=1,
∴sinC-π6=12.
又C∈(0,π),∴C-π6∈-π6,5π6,
∴C-π6=π6,解得C=π3.
若选条件②:∵sin(A+B)cosC-π6
=sinCcosCcosπ6+sinCsinπ6
=32sinCcosC+12sin2C
=34sin2C-14cos2C+14
=12sin2C-π6+14=34,
∴sin2C-π6=1.
∵C∈(0,π),∴2C-π6∈-π6,11π6,
∴2C-π6=π2,解得C=π3.
(2)∵CD=12(CA+CB),
∴|CD|2=14(CA2+CB2+2CA·CB),
即CD2=14b2+a2+2abcosπ3
=14(a2+b2+ab),
∴CD2a2+b2=14(a2+b2+ab)a2+b2
=14+ab4(a2+b2)≤14+ab4×2...
题型分析高考中解三角形的综合应用问题主要涉及的题型有:(1)利用正弦定理、余弦定理求解平面多边形中的边、角、面积问题.(2)结合基本不等式、三角形恒等变换求解三角形中的最值(范围)问题.(3)利用正弦、余弦定理和三角恒等变换证明三角形中的恒等式.
题型一多边形中的解三角形问题
例1如图所示,四边形ABCD为圆O的内接四边形,其中AB=2,BC=3,CD=22,DA=1.
(1)求sinD的值;
(2)求四边形ABCD的面积及圆O的半径.
解(1)连接AC,
因为四边形ABCD为圆内接四边形,
所以∠B+∠D=π,所以cosB=-cosD.
在△ABC中,由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB,
可得AC2=2+9+2×2×3cosD=11+62cosD.
在△ADC中,由余弦定理AC2=AD2+DC2-2AD·DCcosD,
可得AC2=1+8-2×1×22cosD
=9-42cosD.
所以11+62cosD=9-42cosD,
得cosD=-210,
又D∈(0,π),所以sinD=1-cos2D=7210.
(2)由(1)知,sinD=7210,
因为∠B+∠D=π,所以sinB=sinD=7210,
所以S△ABC=12AB·BCsinB
=12×2×3×7210=2110,
S△ADC=12AD·DCsinD
=12×1×22×7210=75,
所以四边形ABCD的面积S=S△ABC+S△ADC=2110+75=72.
结合(1)得,AC2=11+62cosD
=11+62×-210=495,
所以AC=755,
设四边形ABCD外接圆的半径为R,
可得2R=ACsinB=7557210=10,
所以四边形ABCD外接圆的半径R=102.
思维建模平面几何中解三角形问题的求解思路
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形,然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解;
(2)寻找各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件,求出结果.
训练1如图,在平面四边形ABCD中,BC=3,BE⊥AC于点E,BE=2,且△ACD的面积为△ABC面积的2倍.
(1)求AD·sin∠DAC的值;
(2)当CD=3时,求线段DE的长.
解(1)∵S△ACD=12·AC·AD·sin∠DAC,
S△ABC=12·AC·BE,S△ACD=2S△ABC,
∴12·AC·AD·sin∠DAC=AC·BE.
∴AD·sin∠DAC=2·BE=22.
(2)由题可得CE=1.
在△ACD中,CDsin∠DAC=ADsin∠ACD,
∴AD·sin∠DAC=CD·sin∠ACD=22.
又CD=3,∴sin∠ACD=223,
∴cos∠ACD=±1-89=±13.
在△CDE中,DE2=CE2+CD2-2·CE·CD·cos∠ACD.
当cos∠ACD=13时,
DE2=12+32-2×1×3×13=8,∴DE=22.
当cos∠ACD=-13时,
DE2=12+32-2×1×3×-13=12,
∴DE=23.
综上,DE=22或23.
题型二三角形中的最值(范围)问题
例2(2025·长沙联考)如图,在△ABC中,有cosB+12-sinB=0.
(1)求∠B的大小;
(2)直线BC绕点C顺时针旋转π6与AB的延长线交于点D,若△ABC为锐角三角形,AB=2,求CD长度的取值范围.
解(1)由cosB+12-sinB=0得cosB+12=sinB,
两边平方得cosB+12=sin2B,
将sin2B+cos2B=1代入整理得2cos2B+cosB-1=0,
解得cosB=12或cosB=-1,
因为B∈(0,π),所以B=π3.
(2)由(1)知∠ABC=π3,
则∠CBD=2π3,
由题意可知∠BCD=π6,
则∠D=π6.
设BC=a,则BD=BC=a.
在△BCD中,由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2BD·BCcos∠DBC=a2+a2-2a·a·-12=3a2,
则CD=3a.
在△ABC中,由正弦定理得BCsinA=ABsin∠ACB,
所以a=2sinAsin∠ACB=2sinπ3+∠ACBsin∠ACB=3cos∠ACB+sin∠ACBsin∠ACB=3tan∠ACB+1.
因为△ABC为锐角三角形,
所以0b,则A>B;
(2)请用余弦定理证明:若A>B,则a>b.
证明(1)由asinA=bsinB,
a>b得sinA>sinB.
①若A,B∈0,π2,则由y=sinx在0,π2上单调递增,得A>B.
②若A∈0,π2,B∈π2,π,则sinA>sinB=sin(π-B),
此时π-B∈0,π2,由y=sinx在0,π2上单调递增,
得A>π-B?A+B>π,舍去.
③若B∈0,π2,A∈π2,π,
则sinA=sin(π-A)>sinB,
此时π-A∈0,π2,由y=sinx在0,π2上单调递增,得π-A>B,A+BB成立.
综上,若a>b,则A>B.
(2)由y=cosx在(0,π)上单调递减,
得cosA0,a+b-c>0,因此a>b.
1.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,cos2π2+A+cosA=54.
(1)求A;
(2)若b-c=33a,证明:△ABC是直角三角形.
(1)解由已知得sin2A+cosA=54,
即cos2A-cosA+14=0.
所以cosA-122=0,cosA=12.
由于0
(2)证明由正弦定理及已知条件可得
sinB-sinC=33sinA.
由(1)知B+C=2π3,
所以sinB-sin2π3-B=33sinπ3,
即12sinB-32cosB=12,sinB-π3=12.
由于0
从而△ABC是直角三角形.
2.(2025·北京海淀区模拟)从条件①b-ccosA=a(3sinC-1);②sin(A+B)·cosC-π6=34中任选一个,补充在下面横线中,并加以解答.
在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,.
(1)求角C的大小;
(2)设D为边AB的中点,求CD2a2+b2的最大值.
解(1)若选条件①:由正弦定理得
sinB-sinCcosA=sinA(3sinC-1),
∴sin(A+C)-sinCcosA
=sinAcosC+cosAsinC-sinCcosA
=sinAcosC=sinA(3sinC-1),
∵A∈(0,π),∴sinA≠0,
∴cosC=3sinC-1,
即3sinC-cosC=2sinC-π6=1,
∴sinC-π6=12.
又C∈(0,π),∴C-π6∈-π6,5π6,
∴C-π6=π6,解得C=π3.
若选条件②:∵sin(A+B)cosC-π6
=sinCcosCcosπ6+sinCsinπ6
=32sinCcosC+12sin2C
=34sin2C-14cos2C+14
=12sin2C-π6+14=34,
∴sin2C-π6=1.
∵C∈(0,π),∴2C-π6∈-π6,11π6,
∴2C-π6=π2,解得C=π3.
(2)∵CD=12(CA+CB),
∴|CD|2=14(CA2+CB2+2CA·CB),
即CD2=14b2+a2+2abcosπ3
=14(a2+b2+ab),
∴CD2a2+b2=14(a2+b2+ab)a2+b2
=14+ab4(a2+b2)≤14+ab4×2...
