第11节 圆锥曲线中的轨迹问题（2026版创新设计高考数学总复习配套word文档教师版） 人教版
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第11节 圆锥曲线中的轨迹问题
知识拓展
1.曲线C与方程F(x,y)=0满足两个条件:(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解;(2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.则称曲线C为方程F(x,y)=0的曲线,方程F(x,y)=0为曲线C的方程.
2.求曲线方程的基本方法主要有:
(1)定义法:若动点运动的限制条件与某一类圆锥曲线的定义吻合,可直接根据定义建立动点的轨迹方程,于是就确定了曲线的类型与方程的具体结构式,再用待定系数法求解的方法称为定义法.
(2)直接法:如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,这些条件简单明确,不需要特殊的技巧,直接将条件翻译成等式,整理化简后即得到动点的轨迹方程.
(3)相切点法(代入法):如果动点满足的限制条件不容易直接列出等式,但是动点随着另一相关点的运动而运动,这时可用动点坐标表示相关点的坐标,根据相关点所满足的方程求得动点的轨迹方程的方法称为相关点法.
(4)参数法:如果动点本身所满足的条件式中含有一个参数,或在运动过程中受到某个变量的制约,那么以此变量为参数,建立轨迹的参数方程,再设法消去参数,即可得到轨迹的方程,这种方法称为参数法.
(5)变轨法:如果动点是两条曲线的交点,则其坐标同时满足两条曲线方程,那么消去辅助量即可求得动点的轨迹,这种方法称为交轨法.
题型一定义法
例1若动圆与两定圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=49都外切,则动圆圆心的轨迹方程是.
答案x29-y216=1(x≤-3)
解析设圆C1为(x+5)2+y2=1,
可得圆心C1(-5,0),半径r1=1,
设圆C2为(x-5)2+y2=49,
可得圆心C2(5,0),半径r2=7,且|C1C2|=10.
设动圆圆心为C,半径为r,
因为动圆C同时与圆C1和圆C2外切,
所以|CC1|=r+1,|CC2|=7+r,
所以|CC2|-|CC1|=60),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程为()
A.x216+y24=1(y>0)B.x216+y28=1(y>0)
C.y216+x24=1(y>0)D.y216+x28=1(y>0)
答案A
解析法一由题意可知把曲线C上所有点的纵坐标缩短至原来的一半,横坐标不变,即可得到点M的轨迹.
曲线C为半圆,则点M的轨迹为椭圆(x轴上方部分),其中长半轴长为4,短半轴长为2,故选A.
法二设M(x,y),P(x0,y0),
则P'(x0,0),由中点坐标公式得x=x0,y=y02,即x0=x,y0=2y,
∵x02+y02=16(y0>0),
∴x2+(2y)2=16(y>0),
即x216+y24=1(y>0).
思维建模利用相关点法求轨迹方程的基本步骤:
(1)设点:设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x0,y0).
(2)求关系式:求出两个动点坐标之间的关系式x0=f(x,y),y0=g(x,y).
(3)代换:将上述关系式代入主动点满足的曲线方程,便可得到所求被动点的轨迹方程.
训练3(2025·内江模拟)已知面积为16的正方形ABCD的顶点A,B分别在x轴和y轴上滑动,O为坐标原点,OP=34OA+12OB,则动点P的轨迹方程是()
A.x23+y22=1B.x29+y24=1
C.x24+y28=1D.x28+y24=1
答案B
解析设P(x,y),不妨令A(x1,0),B(0,y2),正方形ABCD的面积为16,
则|AB|=4,则x12+y22=16,
由OP=34OA+12OB,
可得x=34x1,y=12y2,即x1=43x,y2=2y,
则4x32+(2y)2=16,整理得x29+y24=1.
题型四参数法
例4(2025·兰州模拟)变量x,y满足x=t,y=21-t(t为参数),则代数式y+2x+2的取值范围是.
答案23,2
解析由x=t,y=21-t,
消去参数t可得x2+y24=1(x≥0,y≥0),
则M(x,y)的轨迹为椭圆在第一象限的部分(包含与坐标轴的交点),
y+2x+2=y-(-2)x-(-2)可看成点A(-2,-2)与点M(x,y)连线斜率,
如图,B(1,0),C(0,2),
∴kAB=0+21+2=23,kAC=2+20+2=2,
则y+2x+2∈23,2.
思维建模1.参数法求动点轨迹方程的一般步骤
(1)选择坐标系,设动点坐标P(x,y);
(2)分析轨迹的已知条件,选定参数(选择参数时要考虑既要有利于建立方程又要便于消去参数);
(3)建立参数方程;
(4)消去参数得到普通方程;
(5)讨论并判断轨迹.
2.常用的消参方法有:代入消参,加减消参,整体代换法,三角消参法(sin2θ+cos2θ=1)等,要特别注意:消参前后变量x,y的取值范围不能改变.
训练4已知曲线C满足x=2cosθ,y=3sinθ(θ为参数),P为C上一点,A(0,5),则P与A的最小距离为.
答案3-5
解析消参,利用cos2θ+sin2θ=x22+y32=1,得y29+x24=1,
曲线C为以(0,±5)为焦点的椭圆,|PA|min=a-c=3-5.
题型五交轨法
例5如图,已知椭圆C:x218+y29=1的短轴端点分别为B1,B2,点M是椭圆C上的动点,且不与点B1,点B2重合,点N满足NB1⊥MB1,NB2⊥MB2,求动点N的轨迹方程.
解法一设直线MB1:y=kx-3(k≠0),
则直线NB1:y=-1kx-3.①
直线MB1与椭圆C:x218+y29=1的交点M的坐标为12k2k2+1,6k2-32k2+1.
则直线MB2的斜率为kMB2=6k2-32k2+1-312k2k2+1=-12k.
所以直线NB2:y=2kx+3.②
由①②得点N的轨迹方程y29+x292=1(x≠0).
法二设N(x,y),M(x0,y0)(x0≠0).
由题意知B1(0,-3),B2(0,3),
所以kMB1=y0+3x0,kMB2=y0-3x0.
因为MB1⊥NB1,MB2⊥NB2,
所以直线NB1:y+3=-x0y0+3x,①
直线NB2:y-3=-x0y0-3x,②
联立①②,解得x=y02-9x0,y=-y0.
又x0218+y029=1,所以x=-x02,
故x0=-2x,y0=-y,代入x0218+y029=1,得y29+x292=1.
所以动点N的轨迹方程为y29+x292=1(x≠0).
思维建模1.求两条动直线交点轨迹方程一般用交轨法.
2.运用交轨法探求轨迹方程问题,主要是把选取的参数看成已知数,写出两条动曲线方程;如果动点(x0,y0)影响动点P(x,y)的轨迹,那么就选取动点(x0,y0)为参数.如果动直线的斜率k影响动点P(x,y)的轨迹,那么就选取动直线的斜率k为参数.如果动直线在y轴上的截矩b影响动点P(x,y)的轨迹,那么就选取动直线在y轴上的截距b为参数.如果动直线的倾斜角α影响动...
知识拓展
1.曲线C与方程F(x,y)=0满足两个条件:(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解;(2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.则称曲线C为方程F(x,y)=0的曲线,方程F(x,y)=0为曲线C的方程.
2.求曲线方程的基本方法主要有:
(1)定义法:若动点运动的限制条件与某一类圆锥曲线的定义吻合,可直接根据定义建立动点的轨迹方程,于是就确定了曲线的类型与方程的具体结构式,再用待定系数法求解的方法称为定义法.
(2)直接法:如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,这些条件简单明确,不需要特殊的技巧,直接将条件翻译成等式,整理化简后即得到动点的轨迹方程.
(3)相切点法(代入法):如果动点满足的限制条件不容易直接列出等式,但是动点随着另一相关点的运动而运动,这时可用动点坐标表示相关点的坐标,根据相关点所满足的方程求得动点的轨迹方程的方法称为相关点法.
(4)参数法:如果动点本身所满足的条件式中含有一个参数,或在运动过程中受到某个变量的制约,那么以此变量为参数,建立轨迹的参数方程,再设法消去参数,即可得到轨迹的方程,这种方法称为参数法.
(5)变轨法:如果动点是两条曲线的交点,则其坐标同时满足两条曲线方程,那么消去辅助量即可求得动点的轨迹,这种方法称为交轨法.
题型一定义法
例1若动圆与两定圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=49都外切,则动圆圆心的轨迹方程是.
答案x29-y216=1(x≤-3)
解析设圆C1为(x+5)2+y2=1,
可得圆心C1(-5,0),半径r1=1,
设圆C2为(x-5)2+y2=49,
可得圆心C2(5,0),半径r2=7,且|C1C2|=10.
设动圆圆心为C,半径为r,
因为动圆C同时与圆C1和圆C2外切,
所以|CC1|=r+1,|CC2|=7+r,
所以|CC2|-|CC1|=60),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程为()
A.x216+y24=1(y>0)B.x216+y28=1(y>0)
C.y216+x24=1(y>0)D.y216+x28=1(y>0)
答案A
解析法一由题意可知把曲线C上所有点的纵坐标缩短至原来的一半,横坐标不变,即可得到点M的轨迹.
曲线C为半圆,则点M的轨迹为椭圆(x轴上方部分),其中长半轴长为4,短半轴长为2,故选A.
法二设M(x,y),P(x0,y0),
则P'(x0,0),由中点坐标公式得x=x0,y=y02,即x0=x,y0=2y,
∵x02+y02=16(y0>0),
∴x2+(2y)2=16(y>0),
即x216+y24=1(y>0).
思维建模利用相关点法求轨迹方程的基本步骤:
(1)设点:设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x0,y0).
(2)求关系式:求出两个动点坐标之间的关系式x0=f(x,y),y0=g(x,y).
(3)代换:将上述关系式代入主动点满足的曲线方程,便可得到所求被动点的轨迹方程.
训练3(2025·内江模拟)已知面积为16的正方形ABCD的顶点A,B分别在x轴和y轴上滑动,O为坐标原点,OP=34OA+12OB,则动点P的轨迹方程是()
A.x23+y22=1B.x29+y24=1
C.x24+y28=1D.x28+y24=1
答案B
解析设P(x,y),不妨令A(x1,0),B(0,y2),正方形ABCD的面积为16,
则|AB|=4,则x12+y22=16,
由OP=34OA+12OB,
可得x=34x1,y=12y2,即x1=43x,y2=2y,
则4x32+(2y)2=16,整理得x29+y24=1.
题型四参数法
例4(2025·兰州模拟)变量x,y满足x=t,y=21-t(t为参数),则代数式y+2x+2的取值范围是.
答案23,2
解析由x=t,y=21-t,
消去参数t可得x2+y24=1(x≥0,y≥0),
则M(x,y)的轨迹为椭圆在第一象限的部分(包含与坐标轴的交点),
y+2x+2=y-(-2)x-(-2)可看成点A(-2,-2)与点M(x,y)连线斜率,
如图,B(1,0),C(0,2),
∴kAB=0+21+2=23,kAC=2+20+2=2,
则y+2x+2∈23,2.
思维建模1.参数法求动点轨迹方程的一般步骤
(1)选择坐标系,设动点坐标P(x,y);
(2)分析轨迹的已知条件,选定参数(选择参数时要考虑既要有利于建立方程又要便于消去参数);
(3)建立参数方程;
(4)消去参数得到普通方程;
(5)讨论并判断轨迹.
2.常用的消参方法有:代入消参,加减消参,整体代换法,三角消参法(sin2θ+cos2θ=1)等,要特别注意:消参前后变量x,y的取值范围不能改变.
训练4已知曲线C满足x=2cosθ,y=3sinθ(θ为参数),P为C上一点,A(0,5),则P与A的最小距离为.
答案3-5
解析消参,利用cos2θ+sin2θ=x22+y32=1,得y29+x24=1,
曲线C为以(0,±5)为焦点的椭圆,|PA|min=a-c=3-5.
题型五交轨法
例5如图,已知椭圆C:x218+y29=1的短轴端点分别为B1,B2,点M是椭圆C上的动点,且不与点B1,点B2重合,点N满足NB1⊥MB1,NB2⊥MB2,求动点N的轨迹方程.
解法一设直线MB1:y=kx-3(k≠0),
则直线NB1:y=-1kx-3.①
直线MB1与椭圆C:x218+y29=1的交点M的坐标为12k2k2+1,6k2-32k2+1.
则直线MB2的斜率为kMB2=6k2-32k2+1-312k2k2+1=-12k.
所以直线NB2:y=2kx+3.②
由①②得点N的轨迹方程y29+x292=1(x≠0).
法二设N(x,y),M(x0,y0)(x0≠0).
由题意知B1(0,-3),B2(0,3),
所以kMB1=y0+3x0,kMB2=y0-3x0.
因为MB1⊥NB1,MB2⊥NB2,
所以直线NB1:y+3=-x0y0+3x,①
直线NB2:y-3=-x0y0-3x,②
联立①②,解得x=y02-9x0,y=-y0.
又x0218+y029=1,所以x=-x02,
故x0=-2x,y0=-y,代入x0218+y029=1,得y29+x292=1.
所以动点N的轨迹方程为y29+x292=1(x≠0).
思维建模1.求两条动直线交点轨迹方程一般用交轨法.
2.运用交轨法探求轨迹方程问题,主要是把选取的参数看成已知数,写出两条动曲线方程;如果动点(x0,y0)影响动点P(x,y)的轨迹,那么就选取动点(x0,y0)为参数.如果动直线的斜率k影响动点P(x,y)的轨迹,那么就选取动直线的斜率k为参数.如果动直线在y轴上的截矩b影响动点P(x,y)的轨迹,那么就选取动直线在y轴上的截距b为参数.如果动直线的倾斜角α影响动...
