第11节 三角函数模型及解三角形的实际应用（2026版创新设计高考数学总复习配套word文档教师版） 人教版
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第11节 三角函数模型及解三角形的实际应用
课标要求1.会用三角函数解决简单的实际问题,体会利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识以及方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
【知识梳理】
1.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方叫仰角,目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).
2.方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).
3.方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,如南偏东30°,北偏西45°等.
4.坡度:坡面与水平面所成的二面角的正切值.
[常用结论与微点提醒]
1.不要搞错各种角的含义,不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.
2.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系,从而应用正、余弦定理求解.
【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)东北方向就是北偏东45°的方向.()
(2)从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为α+β=180°.()
(3)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为0,π2.()
(4)方位角与方向角其实质是一样的,均是用来确定观察点与目标点之间的位置关系.()
答案(1)√(2)×(3)×(4)√
解析(2)α=β;
(3)俯角是视线与水平线所构成的角.
2.(人教A必修二P51T3改编)如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°方向,灯塔B在观察站南偏东60°方向,则灯塔A在灯塔B()
A.北偏东10°方向B.北偏西10°方向
C.南偏东80°方向D.南偏西80°方向
答案D
解析由题可知,∠CAB=∠CBA=40°,
又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,
所以∠DBA=10°,
因此灯塔A在灯塔B南偏西80°方向.
3.(人教A必修二P49例10改编)如图所示,为测量某树的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点分别测得树尖P的仰角为30°,45°,且A,B两点之间的距离为60m,则树的高度为()
A.(303+30)mB.(153+30)m
C.(303+15)mD.(153+15)m
答案A
解析在△ABP中,∠APB=45°-30°=15°,
所以sin∠APB=sin15°=22×32-22×12=6-24,
由正弦定理得PB=ABsin30°sin∠APB=60×126-24
=30(6+2)m,
所以该树的高度为30(6+2)sin45°=(303+30)m.
4.(苏教必修二P108T10改编)如图,在高速公路建设中需要确定隧道的长度,工程技术人员已测得隧道两端的两点A,B到点C的距离AC=BC=1km,且C=120°,则A,B两点间的距离为km.
答案3
解析在△ABC中,易得A=30°,
由正弦定理ABsinC=BCsinA,
得AB=BCsinCsinA=2×1×32=3km.
考点一三角函数模型
例1(多选)如图所示,一半径为4米的水轮,水轮圆心O距离水面2米,已知水轮每60秒逆时针转动一圈,如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时,则()
A.点P第一次到达最高点需要20秒
B.当水轮转动155秒时,点P距离水面2米
C.当水轮转动50秒时,点P在水面下方,距离水面2米
D.点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析式为h=4cosπ30t+π3+2
答案ABC
解析设点P距离水面的高度h(米)和时间t(秒)的函数解析式为
h=Asin(ωt+φ)+BA>0,ω>0,φ0,|φ|0.5可得sin2π3t+φ>0.5,
所以2kπ+π6a1),两次观测时镜子间的距离为am,人的“眼高”为hm,则建筑物的高度为()
A.aha2-a1mB.a(a2-a1)hm
C.(a2-a1)hamD.ah2a2-a1m
答案A
解析设建筑物的高度为x,如图所示,
由△HGF∽△DEF,
得HGDE=GFEF?EF=DE·GFHG=xa1h,
由△ABC∽△DEC,
得ABDE=BCEC?hx=a2a+xa1h,
所以ah+xa1=xa2,即x(a2-a1)=ah,
解得x=aha2-a1(m).
8.如图,为了测量某湿地A,B两点间的距离,观察者找到在同一直线上的三点C,D,E.从D点测得∠ADC=67.5°,从C点测得∠ACD=45°,∠BCE=75°,从E点测得∠BEC=60°.若测得DC=23,CE=2(单位:百米),则A,B两点间的距离为()
A.6百米B.22百米
C.3百米D.23百米
答案C
解析根据题意,在△ADC中,
∠ACD=45°,∠ADC=67.5°,DC=23,
则∠DAC=180°-45°-67.5°=67.5°,
则AC=DC=23.
在△BCE中,∠BCE=75°,∠BEC=60°,
CE=2,则∠EBC=180°-75°-60°=45°.
由正弦定理得CEsin∠EBC=BCsin∠BEC,
则BC=CE·sin∠BECsin∠EBC=2×3222=3.
在△ABC中,AC=23,BC=3,
∠ACB=180°-∠ACD-∠BCE=60°,
则AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=9,则AB=3(百米).
二、多选题
9.(2025·广州调研)水车是进行灌溉引水的工具,是人类的一项古老发明.如图是一个半径为R的水车,一个水斗从点A(1,-3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时6秒.经过t秒后,水斗旋转到P点,设点P的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)t≥0,ω>0,φ0)的函数关系式,并求当t∈0,π2时,y的取值范围.
解(1)连接AB,OA,OB(图略),
当t=π4时,∠xOA=π2+π3=5π6,∠xOB=π2,
所以∠AOB=2π3.
又OA=1,OB=2,
所以AB2=12+22-2×1×2cos2π3=7,
即A,B两点间的距离为7.
(2)依题意,y1=sin2t+π3,y2=-2sin2t,
所以y=sin2t+π3-2sin2t
=32cos2t-32sin2t=3cos2t+π3,
即函数关系式为y=3cos2t+π3(t>0),
当t∈0,π2时,2t+π3∈π3,4π3,
所以cos2t+π3∈-1,12,
故当t∈0,π2时,y∈-3,32.
16.如图所示,经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M,N(异于村庄A),要求PM=PN=MN=2(单位:千米).如何设计,使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距...
课标要求1.会用三角函数解决简单的实际问题,体会利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识以及方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
【知识梳理】
1.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方叫仰角,目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).
2.方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).
3.方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,如南偏东30°,北偏西45°等.
4.坡度:坡面与水平面所成的二面角的正切值.
[常用结论与微点提醒]
1.不要搞错各种角的含义,不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.
2.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系,从而应用正、余弦定理求解.
【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)东北方向就是北偏东45°的方向.()
(2)从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为α+β=180°.()
(3)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为0,π2.()
(4)方位角与方向角其实质是一样的,均是用来确定观察点与目标点之间的位置关系.()
答案(1)√(2)×(3)×(4)√
解析(2)α=β;
(3)俯角是视线与水平线所构成的角.
2.(人教A必修二P51T3改编)如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°方向,灯塔B在观察站南偏东60°方向,则灯塔A在灯塔B()
A.北偏东10°方向B.北偏西10°方向
C.南偏东80°方向D.南偏西80°方向
答案D
解析由题可知,∠CAB=∠CBA=40°,
又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,
所以∠DBA=10°,
因此灯塔A在灯塔B南偏西80°方向.
3.(人教A必修二P49例10改编)如图所示,为测量某树的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点分别测得树尖P的仰角为30°,45°,且A,B两点之间的距离为60m,则树的高度为()
A.(303+30)mB.(153+30)m
C.(303+15)mD.(153+15)m
答案A
解析在△ABP中,∠APB=45°-30°=15°,
所以sin∠APB=sin15°=22×32-22×12=6-24,
由正弦定理得PB=ABsin30°sin∠APB=60×126-24
=30(6+2)m,
所以该树的高度为30(6+2)sin45°=(303+30)m.
4.(苏教必修二P108T10改编)如图,在高速公路建设中需要确定隧道的长度,工程技术人员已测得隧道两端的两点A,B到点C的距离AC=BC=1km,且C=120°,则A,B两点间的距离为km.
答案3
解析在△ABC中,易得A=30°,
由正弦定理ABsinC=BCsinA,
得AB=BCsinCsinA=2×1×32=3km.
考点一三角函数模型
例1(多选)如图所示,一半径为4米的水轮,水轮圆心O距离水面2米,已知水轮每60秒逆时针转动一圈,如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时,则()
A.点P第一次到达最高点需要20秒
B.当水轮转动155秒时,点P距离水面2米
C.当水轮转动50秒时,点P在水面下方,距离水面2米
D.点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析式为h=4cosπ30t+π3+2
答案ABC
解析设点P距离水面的高度h(米)和时间t(秒)的函数解析式为
h=Asin(ωt+φ)+BA>0,ω>0,φ0,|φ|0.5可得sin2π3t+φ>0.5,
所以2kπ+π6a1),两次观测时镜子间的距离为am,人的“眼高”为hm,则建筑物的高度为()
A.aha2-a1mB.a(a2-a1)hm
C.(a2-a1)hamD.ah2a2-a1m
答案A
解析设建筑物的高度为x,如图所示,
由△HGF∽△DEF,
得HGDE=GFEF?EF=DE·GFHG=xa1h,
由△ABC∽△DEC,
得ABDE=BCEC?hx=a2a+xa1h,
所以ah+xa1=xa2,即x(a2-a1)=ah,
解得x=aha2-a1(m).
8.如图,为了测量某湿地A,B两点间的距离,观察者找到在同一直线上的三点C,D,E.从D点测得∠ADC=67.5°,从C点测得∠ACD=45°,∠BCE=75°,从E点测得∠BEC=60°.若测得DC=23,CE=2(单位:百米),则A,B两点间的距离为()
A.6百米B.22百米
C.3百米D.23百米
答案C
解析根据题意,在△ADC中,
∠ACD=45°,∠ADC=67.5°,DC=23,
则∠DAC=180°-45°-67.5°=67.5°,
则AC=DC=23.
在△BCE中,∠BCE=75°,∠BEC=60°,
CE=2,则∠EBC=180°-75°-60°=45°.
由正弦定理得CEsin∠EBC=BCsin∠BEC,
则BC=CE·sin∠BECsin∠EBC=2×3222=3.
在△ABC中,AC=23,BC=3,
∠ACB=180°-∠ACD-∠BCE=60°,
则AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=9,则AB=3(百米).
二、多选题
9.(2025·广州调研)水车是进行灌溉引水的工具,是人类的一项古老发明.如图是一个半径为R的水车,一个水斗从点A(1,-3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时6秒.经过t秒后,水斗旋转到P点,设点P的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)t≥0,ω>0,φ0)的函数关系式,并求当t∈0,π2时,y的取值范围.
解(1)连接AB,OA,OB(图略),
当t=π4时,∠xOA=π2+π3=5π6,∠xOB=π2,
所以∠AOB=2π3.
又OA=1,OB=2,
所以AB2=12+22-2×1×2cos2π3=7,
即A,B两点间的距离为7.
(2)依题意,y1=sin2t+π3,y2=-2sin2t,
所以y=sin2t+π3-2sin2t
=32cos2t-32sin2t=3cos2t+π3,
即函数关系式为y=3cos2t+π3(t>0),
当t∈0,π2时,2t+π3∈π3,4π3,
所以cos2t+π3∈-1,12,
故当t∈0,π2时,y∈-3,32.
16.如图所示,经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M,N(异于村庄A),要求PM=PN=MN=2(单位:千米).如何设计,使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距...
