第11节 函数模型及其应用

课标要求1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异,理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.2.通过收集、阅读一些现实生活、生产实际等数学模型,会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律,了解函数模型在社会生活中的广泛应用.



【知识梳理】

1.指数、对数、幂函数模型性质比较

函数

性质

y=ax(a>1)

y=logax(a>1)

y=xn(n>0)

在(0,+∞)

上的增减性

单调递增

单调递增

单调递增

增长速度

越来越快

越来越慢

相对平稳

图象

的变化

随x的增大逐渐表现为与y轴平行

随x的增大逐渐表现为与x轴平行

随n值变化而各有不同

值的比较

存在一个x0,当x>x0时,有logax0且a≠1,b≠0)

与对数函数相关的模型

f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)

与幂函数

相关的模型

f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0)

[常用结论与微点提醒]

1.“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长量越来越小.

2.充分理解题意,并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.

3.易忽视实际问题中自变量的取值范围,需合理确定函数的定义域,必须验证数学结果对实际问题的合理性.

【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)某种商品进价为每件100元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,若按九折出售,则每件还能获利.()

(2)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.()

(3)不存在x0,使ax01)的增长速度会超过并远远大于y=xa(a>0)的增长速度.()

答案(1)×(2)×(3)×(4)√

解析(1)9折出售的售价为

100(1+10%)×910=99(元).

∴每件赔1元,(1)错误.

(2)当x=2时,2x=x2=4.(2)不正确.

(3)如a=x0=12,n=14,不等式成立,因此(3)错误.

2.(人教A必修一P155T9改编)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元,他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是()



A.40万元B.60万元

C.80万元D.120万元

答案D

解析当甲商品的价格为6元时,该商人全部买入甲商品,可以买120÷6=20(万份),在t2时刻全部卖出,此时获利20×2=40(万元);

当乙商品的价格为4元时,该商人买入乙商品,可以买(120+40)÷4=40(万份),在t4时刻全部卖出,此时获利40×2=80(万元).

故该商人共获利40+80=120(万元).

3.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量,通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)()

A.1.5B.1.2

C.0.8D.0.6

答案C

解析由题意知4.9=5+lgV,

得lgV=-0.1,得V=10-110≈0.8,

所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.

4.某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位:天)的函数关系是f(t)=t+10(022(不等式两边同乘-1,不等号改变方向),

G>22lg10-lg9=221-2lg3≈221-2×0.4771=220.0458≈480.35,

所以所需的训练迭代轮数至少为481轮.

思维建模1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点

(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数;

(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.

2.利用函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验.

训练2(1)(2025·南京、盐城模拟)德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表,通过本人的观测和分析后,于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星,其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系:T=2πGM·a32,其中M为太阳质量,G为引力常量.已知火星的公转周期约为水星的8倍,则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的()

A.2倍B.4倍

C.6倍D.8倍

答案B

解析设火星的公转周期为T1,椭圆轨道的长半轴长为a1,水星的公转周期为T2,椭圆轨道的长半轴长为a2,

则T1=8T2,且T1=2πGMa132,①T2=2πGMa232,②

①②得T1T2=a1a232=8,

所以a1a2=4,即a1=4a2.

(2)香农-威纳指数(H)是生态学中衡量群落中生物多样性的一个指数,其计算公式是H=-n∑i=1pi·log2pi,其中n是该群落中生物的种数,pi为第i个物种在群落中的比例,下表为某个只有甲、乙、丙三个种群的群落中各种群个体数量统计表,根据表中数据,该群落的香农-威纳指数值为()

物种

甲

乙

丙

合计

个体数量

300

150

150

600



A.32B.34

C.-32D.-34

答案A

解析由题意知H=-300600×log2300600+150600×log2150600+150600×log2150600

=-12log212+14log214+14log214

=--12-12-12=32.故选A.

考点三构建函数模型解决实际问题

例3李冶(1192—1279),真定栾城(今属河北石家庄市)人,金元时期的数学家、诗人,数学著作多部,其中《益古演段》主要研究平面图形问题:如求圆的直径、正方形的边长等.其中一问:现有正方形方田一块,内部有一个圆形水池,其中水池的边缘与方田四边之间的面积为y亩,若方田的四边到水池的最近距离均为20步,则y关于水池半径r(步)的函数关系式为y=,水池的边缘与方田之间的面积与水池半径比值最小时,r=(注:240平方步为1亩,圆周率按3近似计算).

答案1240r2+23r+20340

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