第12节 定点、定线问题（2026版创新设计高考数学总复习配套word文档教师版） 人教版
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第12节 定点、定线问题
题型分析解析几何中的定点、定线问题是高考考查的热点,难度较大,是高考的压轴题,定点问题的类型一般为直线过定点与圆过定点等;定线问题的类型一般是证明或探究动点在直线上.
题型一定点问题
角度1直线过定点
例1(2025·郑州质检节选)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(0,1),且焦距为23.
(1)求椭圆E的标准方程.
(2)过点S(1,0)作两条互相垂直的弦AB,CD,设弦AB,CD的中点分别为M,N.证明:直线MN必过定点.
(1)解依题意有b=1,c=3,
∴a2=b2+c2=4,
∴椭圆E的标准方程为x24+y2=1.
(2)证明设lAB:x=my+1(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
则lCD:x=-1my+1(m≠0),
联立得x=my+1,x2+4y2=4,故(m2+4)y2+2my-3=0,
Δ=16m2+48>0,y1+y2=-2mm2+4,
∴x1+x2=m(y1+y2)+2=8m2+4,
故M4m2+4,-mm2+4,
由-1m代替m,得N4m21+4m2,m1+4m2.
当4m2+4=4m21+4m2,即m2=1时,
lMN:x=45,过点K45,0.
当4m2+4≠4m21+4m2,即m2≠1时,
kMN=5m4(m2-1),
lMN:y+mm2+4=5m4(m2-1)x-4m2+4(m2≠1,m≠0),
令y=0,得x=4(m2-1)5(m2+4)+4m2+4=4m2+165(m2+4)=45,
∴直线MN恒过点K45,0.
当m=0时,经验证直线MN过点K45,0.
综上,直线MN恒过点K45,0.
角度2其它曲线过定点
例2(2025·河北名校调研节选)已知椭圆C:y22+x2=1,过点P13,0的直线l交椭圆C于A,B两点.试探究以线段AB为直径的圆是否过定点.若过,求出定点坐标;若不过,请说明理由.
解椭圆C的方程为y22+x2=1,
当AB⊥x轴时,以线段AB为直径的圆的方程为x-132+y2=169.
当AB⊥y轴时,以线段AB为直径的圆的方程为x2+y2=1.
可得两圆交点为Q(-1,0).
由此可知,若以线段AB为直径的圆恒过定点,则该定点为Q(-1,0).
下证Q(-1,0)符合题意.
设直线l的斜率存在,且不为0,
其方程为y=kx-13,代入y22+x2=1,
并整理得(k2+2)x2-23k2x+19k2-2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=2k23(k2+2),x1x2=k2-189(k2+2),
所以QA·QB=(x1+1)(x2+1)+y1y2
=x1x2+x1+x2+1+k2x1-13x2-13
=(1+k2)x1x2+1-13k2(x1+x2)+1+19k2
=(1+k2)·k2-189(k2+2)+1-13k2·2k23(k2+2)+1+19k2=0,故QA⊥QB,
即Q(-1,0)在以线段AB为直径的圆上.
综上,以线段AB为直径的圆恒过定点(-1,0).
思维建模圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.或以曲线上的点为参数,设点P(x1,y1),利用点在曲线f(x,y)=0上,即f(x1,y1)=0消参.
(2)特殊到一般法:定点问题,先猜后证,可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想,如直线的水平或竖直位置,即k=0或k不存在.
训练1(2023·全国乙卷)已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为53,点A(-2,0)在C上.
(1)求C的方程;
(2)过点(-2,3)的直线交C于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明:线段MN的中点为定点.
(1)解因为点A(-2,0)在C上,
所以4b2=1,得b2=4.
因为椭圆的离心率e=ca=53,所以c2=59a2,
又a2=b2+c2=4+59a2,
所以a2=9,c2=5,
故椭圆C的方程为y29+x24=1.
(2)证明由题意知,直线PQ的斜率存在且不为0,
设lPQ:y-3=k(x+2),P(x1,y1),Q(x2,y2),
由y-3=k(x+2),y29+x24=1,
得(4k2+9)x2+(16k2+24k)x+16k2+48k=0,
故x1+x2=-16k2+24k4k2+9,x1x2=16k2+48k4k2+9.
直线AP:y=y1x1+2(x+2),
令x=0,解得yM=2y1x1+2,同理得yN=2y2x2+2,
则yM+yN=2y1(x2+2)+y2(x1+2)(x1+2)(x2+2)
=2(kx1+2k+3)(x2+2)+(kx2+2k+3)(x1+2)(x1+2)(x2+2)
=22kx1x2+(4k+3)(x1+x2)+8k+12x1x2+2(x1+x2)+4
=22k(16k2+48k)+(4k+3)(-16k2-24k)+(8k+12)(4k2+9)16k2+48k+2(-16k2-24k)+4(4k2+9)
=2×10836=6,
所以MN的中点的纵坐标为yM+yN2=3,
所以MN的中点为定点(0,3).
题型二定线问题
例3(2023·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为(-25,0),离心率为5.
(1)求C的方程;
(2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与NA2交于点P,证明:点P在定直线上.
(1)解设双曲线的标准方程为
x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).
由题意可得e=ca=5,c2=a2+b2,c=25,解得a=2,b=4.
所以双曲线C的方程为x24-y216=1.
(2)证明设直线MN的方程为x=my-4,
M(x1,y1),N(x2,y2).
易知A1(-2,0),A2(2,0).
联立直线MN与双曲线C的方程,
得x=my-4,4x2-y2=16.
消去x并整理,得(4m2-1)y2-32my+48=0,
则y1+y2=32m4m2-1,y1y2=484m2-1,
且4m2-1≠0,Δ=(-32m)2-4×48×(4m2-1)
=256m2+192>0.
直线MA1的方程为y=y1x1+2(x+2),
直线NA2的方程为y=y2x2-2(x-2).
联立直线MA1与直线NA2的方程并消去y,得x+2x-2=y2(x1+2)y1(x2-2)=my1y2-2(y1+y2)+2y1my1y2-6y1
=m·484m2-1-2×32m4m2-1+2y1m·484m2-1-6y1
=-16m4m2-1+2y148m4m2-1-6y1=-13,
所以x=-1,即点P在定直线x=-1上.
思维建模1.动点在定直线上是圆锥曲线的常规题型,设点法:通过已知点轨迹,消去参数,从而得到轨迹方程.
2.待定系数法:设出含参数的直线方程,待定系数求解出系数.
3.面对复杂问题时,可从特殊情况入手,以确定可能的定直线,然后再验证该直线对一般情况是否符合,属于“先猜再证”.
训练2(2025·北京西城区模拟节选)已知抛物线C:x2=y,过点E(0,2)作直线交抛物线C于A,B两点,过A,B两点分别作抛物线C的切线交于点P.证明:点P在定直线上.
证明设A(x1,x12),B(x2,x22),
则直线AB的斜率kAB=x12-...
题型分析解析几何中的定点、定线问题是高考考查的热点,难度较大,是高考的压轴题,定点问题的类型一般为直线过定点与圆过定点等;定线问题的类型一般是证明或探究动点在直线上.
题型一定点问题
角度1直线过定点
例1(2025·郑州质检节选)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(0,1),且焦距为23.
(1)求椭圆E的标准方程.
(2)过点S(1,0)作两条互相垂直的弦AB,CD,设弦AB,CD的中点分别为M,N.证明:直线MN必过定点.
(1)解依题意有b=1,c=3,
∴a2=b2+c2=4,
∴椭圆E的标准方程为x24+y2=1.
(2)证明设lAB:x=my+1(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
则lCD:x=-1my+1(m≠0),
联立得x=my+1,x2+4y2=4,故(m2+4)y2+2my-3=0,
Δ=16m2+48>0,y1+y2=-2mm2+4,
∴x1+x2=m(y1+y2)+2=8m2+4,
故M4m2+4,-mm2+4,
由-1m代替m,得N4m21+4m2,m1+4m2.
当4m2+4=4m21+4m2,即m2=1时,
lMN:x=45,过点K45,0.
当4m2+4≠4m21+4m2,即m2≠1时,
kMN=5m4(m2-1),
lMN:y+mm2+4=5m4(m2-1)x-4m2+4(m2≠1,m≠0),
令y=0,得x=4(m2-1)5(m2+4)+4m2+4=4m2+165(m2+4)=45,
∴直线MN恒过点K45,0.
当m=0时,经验证直线MN过点K45,0.
综上,直线MN恒过点K45,0.
角度2其它曲线过定点
例2(2025·河北名校调研节选)已知椭圆C:y22+x2=1,过点P13,0的直线l交椭圆C于A,B两点.试探究以线段AB为直径的圆是否过定点.若过,求出定点坐标;若不过,请说明理由.
解椭圆C的方程为y22+x2=1,
当AB⊥x轴时,以线段AB为直径的圆的方程为x-132+y2=169.
当AB⊥y轴时,以线段AB为直径的圆的方程为x2+y2=1.
可得两圆交点为Q(-1,0).
由此可知,若以线段AB为直径的圆恒过定点,则该定点为Q(-1,0).
下证Q(-1,0)符合题意.
设直线l的斜率存在,且不为0,
其方程为y=kx-13,代入y22+x2=1,
并整理得(k2+2)x2-23k2x+19k2-2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=2k23(k2+2),x1x2=k2-189(k2+2),
所以QA·QB=(x1+1)(x2+1)+y1y2
=x1x2+x1+x2+1+k2x1-13x2-13
=(1+k2)x1x2+1-13k2(x1+x2)+1+19k2
=(1+k2)·k2-189(k2+2)+1-13k2·2k23(k2+2)+1+19k2=0,故QA⊥QB,
即Q(-1,0)在以线段AB为直径的圆上.
综上,以线段AB为直径的圆恒过定点(-1,0).
思维建模圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.或以曲线上的点为参数,设点P(x1,y1),利用点在曲线f(x,y)=0上,即f(x1,y1)=0消参.
(2)特殊到一般法:定点问题,先猜后证,可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想,如直线的水平或竖直位置,即k=0或k不存在.
训练1(2023·全国乙卷)已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为53,点A(-2,0)在C上.
(1)求C的方程;
(2)过点(-2,3)的直线交C于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明:线段MN的中点为定点.
(1)解因为点A(-2,0)在C上,
所以4b2=1,得b2=4.
因为椭圆的离心率e=ca=53,所以c2=59a2,
又a2=b2+c2=4+59a2,
所以a2=9,c2=5,
故椭圆C的方程为y29+x24=1.
(2)证明由题意知,直线PQ的斜率存在且不为0,
设lPQ:y-3=k(x+2),P(x1,y1),Q(x2,y2),
由y-3=k(x+2),y29+x24=1,
得(4k2+9)x2+(16k2+24k)x+16k2+48k=0,
故x1+x2=-16k2+24k4k2+9,x1x2=16k2+48k4k2+9.
直线AP:y=y1x1+2(x+2),
令x=0,解得yM=2y1x1+2,同理得yN=2y2x2+2,
则yM+yN=2y1(x2+2)+y2(x1+2)(x1+2)(x2+2)
=2(kx1+2k+3)(x2+2)+(kx2+2k+3)(x1+2)(x1+2)(x2+2)
=22kx1x2+(4k+3)(x1+x2)+8k+12x1x2+2(x1+x2)+4
=22k(16k2+48k)+(4k+3)(-16k2-24k)+(8k+12)(4k2+9)16k2+48k+2(-16k2-24k)+4(4k2+9)
=2×10836=6,
所以MN的中点的纵坐标为yM+yN2=3,
所以MN的中点为定点(0,3).
题型二定线问题
例3(2023·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为(-25,0),离心率为5.
(1)求C的方程;
(2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与NA2交于点P,证明:点P在定直线上.
(1)解设双曲线的标准方程为
x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).
由题意可得e=ca=5,c2=a2+b2,c=25,解得a=2,b=4.
所以双曲线C的方程为x24-y216=1.
(2)证明设直线MN的方程为x=my-4,
M(x1,y1),N(x2,y2).
易知A1(-2,0),A2(2,0).
联立直线MN与双曲线C的方程,
得x=my-4,4x2-y2=16.
消去x并整理,得(4m2-1)y2-32my+48=0,
则y1+y2=32m4m2-1,y1y2=484m2-1,
且4m2-1≠0,Δ=(-32m)2-4×48×(4m2-1)
=256m2+192>0.
直线MA1的方程为y=y1x1+2(x+2),
直线NA2的方程为y=y2x2-2(x-2).
联立直线MA1与直线NA2的方程并消去y,得x+2x-2=y2(x1+2)y1(x2-2)=my1y2-2(y1+y2)+2y1my1y2-6y1
=m·484m2-1-2×32m4m2-1+2y1m·484m2-1-6y1
=-16m4m2-1+2y148m4m2-1-6y1=-13,
所以x=-1,即点P在定直线x=-1上.
思维建模1.动点在定直线上是圆锥曲线的常规题型,设点法:通过已知点轨迹,消去参数,从而得到轨迹方程.
2.待定系数法:设出含参数的直线方程,待定系数求解出系数.
3.面对复杂问题时,可从特殊情况入手,以确定可能的定直线,然后再验证该直线对一般情况是否符合,属于“先猜再证”.
训练2(2025·北京西城区模拟节选)已知抛物线C:x2=y,过点E(0,2)作直线交抛物线C于A,B两点,过A,B两点分别作抛物线C的切线交于点P.证明:点P在定直线上.
证明设A(x1,x12),B(x2,x22),
则直线AB的斜率kAB=x12-...
