第13节 定值问题

题型分析在解析几何题目中,有些几何量与参数无关,这类问题被称为定值问题.定值问题是高考的热点问题、难度较大,一般作为压轴题出现.



题型一长度或距离为定值

例1(2025·长沙测试)已知M,N分别为椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点,F为其右焦点,|FM|=3|FN|,且点P1,32在椭圆E上.

(1)求椭圆E的标准方程;

(2)若过F的直线l与椭圆E交于A,B两点,且l与以MN为直径的圆交于C,D两点,证明:12|AB|+|CD|24为定值.

(1)解由|FM|=3|FN|,

可得a+c=3(a-c),解得a=2c,

又因为a2=b2+c2,所以b=3c.

因为点P1,32在椭圆E上,所以1a2+94b2=1,

解得a=2,b=3,c=1,

所以椭圆E的标准方程为x24+y23=1.

(2)证明①当l与x轴重合时,

|AB|=|CD|=4,

所以12|AB|+|CD|24=7.

②当l不与x轴重合时,设A(x1,y1),B(x2,y2),

直线l的方程为x=my+1,

由x24+y23=1,x=my+1,消去x并整理得(3m2+4)y2+6my-9=0,

则y1+y2=-6m3m2+4,y1y2=-93m2+4,

故|AB|=(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]

=(1+m2)-6m3m2+42+363m2+4

=12×m2+13m2+4,



圆心O到直线l的距离为1m2+1,

则|CD|2=44-1m2+1,

则|CD|24=4-1m2+1,

所以12|AB|+|CD|24=3m2+4m2+1+4-1m2+1=7,

即12|AB|+|CD|24为定值.

思维建模探求圆锥曲线中的定线段的长的问题,一般用直接求解法,即先利用弦长公式把要探求的线段表示出来,然后利用题中的条件(如直线与曲线相切等)得到弦长表达式中的相关量之间的关系式,把这个关系式代入弦长表达式中,化简可得弦长为定值.

训练1(2025·东北三省四市模拟)在平面直角坐标系中,F1,F2分别为双曲线C:3x2-y2=a2(a>0)的左、右焦点,过F2的直线l与双曲线C的右支交于A,B两点.当l与x轴垂直时,△ABF1的面积为12.

(1)求双曲线C的标准方程;

(2)当l与x轴不垂直时,作线段AB的垂直平分线,交x轴于点D.试判断DF2||AB|是否为定值.若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.

解(1)双曲线3x2-y2=a2可化为x2a23-y2a2=1.

当l与x轴垂直时,S△ABF1=12|F1F2|·|AB|=12×2×233a×23a=4a2=12,解得a2=3,

所以双曲线C的标准方程为x2-y23=1.

(2)由(1)知F2(2,0),所以可设直线l的方程为x=ty+2(t≠0),

A(x1,y1),B(x2,y2),M为线段AB的中点,

联立双曲线C与直线l的方程,

得3x2-y2=3,x=ty+2,消去x,得(3t2-1)y2+12ty+9=0,

因此y1+y2=-12t3t2-1,y1y2=93t2-1.

进而可得x1+x2=-43t2-1,

所以线段AB中点M的坐标为-23t2-1,-6t3t2-1,

所以线段AB的垂直平分线的方程为

y+6t3t2-1=-tx+23t2-1,

则D-83t2-1,0,

|DF2|=2+83t2-1=6t2+63t2-1,

|AB|=1+t2(y1+y2)2-4y1y2

=1+t2·-12t3t2-12-4·93t2-1

=6t2+63t2-1,

所以|DF2|=|AB|,即DF2||AB|为定值1.

题型二斜率或代数式为定值

例2(2025·合肥质检)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,左顶点为A,短轴长为23,且经过点1,32.

(1)求椭圆C的方程;

(2)过点F的直线l(不与x轴重合)与C交于P,Q两点,直线AP,AQ与直线x=4的交点分别为M,N,记直线MF,NF的斜率分别为k1,k2,证明:k1·k2为定值.

(1)解因为2b=23,所以b=3,

将1,32代入x2a2+y23=1得1a2+34=1,

解得a2=4,

故椭圆C的方程为x24+y23=1.

(2)证明由(1)可得F(1,0),

由题意可设l:x=ty+1,P(x1,y1),Q(x2,y2),

由x=ty+1,x24+y23=1,可得(3t2+4)y2+6ty-9=0,

易知Δ>0,

所以y1+y2=-6t3t2+4,y1y2=-93t2+4,

因为A(-2,0),所以直线AP的方程为y=y1x1+2(x+2),

令x=4,则y=6y1x1+2,

故M4,6y1x1+2,同理可得N4,6y2x2+2.

所以k1=6y1x1+24-1=6y13(ty1+3),

k2=6y2x2+24-1=6y23(ty2+3),

故k1k2=36y1y29(ty1+3)(ty2+3)

=4y1y2t2y1y2+3t(y1+y2)+9

=-363t2+4-9t23t2+4-18t23t2+4+9=-1.得证.

思维建模1.求代数式为定值.依题设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式,化简即可得出定值.

2.在证明一条直线斜率或两条直线斜率和,差或者积与商为定值的问题中,我们需要先将斜率表示出来,然后利用相关量之间的关系式化简即可.

训练2已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线l交椭圆于A,B两点,交y轴于点M,若|F1F2|=2,△ABF2的周长为8.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)设MA=λF1A,MB=μF1B,试分析λ+μ是否为定值,若是,求出这个定值;否则,说明理由.

解(1)因为△ABF2的周长为8,

所以4a=8,解得a=2,

由|F1F2|=2,得2a2-b2=24-b2=2,

所以b2=3,

因此椭圆C的标准方程为x24+y23=1.

(2)由题意可知直线l的斜率存在,

设直线l的方程为y=k(x+1),

由y=k(x+1),x24+y23=1,

整理得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,

显然Δ>0,

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1+x2=-8k23+4k2,x1x2=4k2-123+4k2.

设M(0,k),又F1(-1,0),

所以MA=(x1,y1-k),F1A=(x1+1,y1),

则λ=x1x1+1.

同理可得MB=(x2,y2-k),F1B=(x2+1,y2),

则μ=x2x2+1.

所以λ+μ=x1x1+1+x2x2+1=x1(x2+1)+x2(x1+1)(x1+1)(x2+1)

=2x1x2+x1+x2x1x2+x1+x2+1=2×4k2-123+4k2-8k23+4k24k2-123+4k2-8k23+4k2+1

=8k2-24-8k24k2-12-8k2+3+4k2=-24-9=83,

所以λ+μ为定值83.

题型三几何图形的面积为定值

例3(2025·太原模拟节选)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点1,32,且离心率e=12,点P是C上一动点.点Q是OP的中点(O为坐标原点),过点Q的直线交C于M,N两占,且|MQ|=|NQ|.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)证明:△MON的面积为定值.

(1)解由题意得1a2+94b2=1,e=ca=12,a2=b2+c2,∴a=2,b...