第15节 求值、证明、探索性问题

题型分析解析几何中的求值、证明、探索性问题是高考考查的热点,难度较大,常出现在高考题比较靠后的位置.求值问题常涉及求方程、斜率、参数值或范围、面积、周长等;证明、探索性问题常涉及定点、定值、最值、范围问题等.

题型一求值问题

例1(2024·北京卷)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0),以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点(0,t)(t>2)且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A,B,过点A和C(0,1)的直线AC与椭圆E的另一个交点为D.

(1)求椭圆E的方程及离心率;

(2)若直线BD的斜率为0,求t的值;

解(1)由题意可知b=2,c=2,

所以a=b2+c2=2,

故椭圆E的方程为x24+y22=1,

离心率e=ca=22.

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为

y=kx+t(k≠0),

联立x24+y22=1,y=kx+t,

得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-4=0.

所以Δ=(4kt)2-4(1+2k2)(2t2-4)>0,

即4k2-t2+2>0,

由根与系数的关系得x1+x2=-4kt1+2k2,x1x2=2t2-41+2k2.

由椭圆的对称性可得D(-x2,y2),

因为A,C,D三点共线,

所以kAC=kCD,

所以y1-1x1=y2-1-x2,

即x1y2+x2y1-(x1+x2)=0.

由y1=kx1+t,y2=kx2+t,

得x1(kx2+t)+x2(kx1+t)-(x1+x2)=0,

整理得2kx1x2+(t-1)(x1+x2)=0,

所以2k·2t2-41+2k2+(t-1)·-4kt1+2k2=0,

解得t=2.

经检验,t=2符合题意.

思维建模求值问题往往考查以面积、斜率、坐标、代数式等为背景的问题,对计算能力的要求较高;另外,求值时,也要考虑某些特殊情形,如直线斜率不存在时的特殊值.

训练1(2022·新高考Ⅰ卷)已知点A(2,1)在双曲线C:x2a2-y2a2-1=1(a>1)上,直线l交C于P,Q两点,直线AP,AQ的斜率之和为0.

(1)求l的斜率;

(2)若tan∠PAQ=22,求△PAQ的面积.

解(1)将点A的坐标代入双曲线方程得

4a2-1a2-1=1,

化简得a4-4a2+4=0,得a2=2,

故双曲线C的方程为x22-y2=1.

由题易知直线l的斜率存在,

设直线l的方程为y=kx+m,

P(x1,y1),Q(x2,y2),

联立直线l与双曲线C的方程,消去y整理得

(2k2-1)x2+4kmx+2m2+2=0,

故x1+x2=-4km2k2-1,x1x2=2m2+22k2-1.

kAP+kAQ=y1-1x1-2+y2-1x2-2

=kx1+m-1x1-2+kx2+m-1x2-2=0,

化简得2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2)-4(m-1)=0,

故2k(2m2+2)2k2-1+(m-1-2k)-4km2k2-1-4(m-1)=0,

整理得(k+1)(m+2k-1)=0,

又直线l不过点A,

即m+2k-1≠0,故k=-1.

(2)不妨设直线PA的倾斜角为θ0b>0)的右焦点为F,点M1,32在C上,且MF⊥x轴.

(1)求C的方程;

(2)过点P(4,0)的直线交C于A,B两点,N为线段FP的中点,直线NB交直线MF于点Q,证明:AQ⊥y轴.

(1)解法一由题意知1a2+94b2=1,c=1,a2=b2+c2,得a=2,b=3,c=1,

所以椭圆C的方程为x24+y23=1.

法二由题意知|MF|=b2a=32,c=1,a2=b2+c2,得a=2,b=3,c=1,

所以椭圆C的方程为x24+y23=1.

(2)证明分析知直线AB的斜率存在.

易知当直线AB的斜率为0时,AQ⊥y轴.

当直线AB的斜率不为0时,设直线AB:x=ty+4(t≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),Q(1,n),

联立方程得x=ty+4,x24+y23=1,

消去x得(3t2+4)y2+24ty+36=0,Δ>0,

则y1+y2=-24t3t2+4,y1y2=363t2+4.

因为N为线段FP的中点,F(1,0),

所以N52,0.

由N,Q,B三点共线,得kBN=kNQ,

即y2x2-52=n1-52,

得-32y2=nx2-52,得n=-3y22x2-5,

所以n-y1=-3y22x2-5-y1=-3y22(ty2+4)-5-y1=-2ty1y2-3(y1+y2)2ty2+3

=-2t×363t2+4+3×24t3t2+42ty2+3=0,

所以n=y1,所以AQ⊥y轴.

思维建模圆锥曲线中的证明问题常见的有:

(1)位置关系方面的:如证明直线与曲线相切,直线间的平行、垂直,直线过定点等.

(2)数量关系方面的:如存在定值、恒成立、相等等.

在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下,一般采用直接法,通过相关的代数运算证明.

训练2(2023·北京卷)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为53,A,C分别是E的上、下顶点,B,D分别是E的左、右顶点,|AC|=4.

(1)求E的方程;

(2)设P为第一象限内E上的动点,直线PD与直线BC交于点M,直线PA与直线y=-2交于点N.求证:MN∥CD.

(1)解依题意,得e=ca=53,则c=53a,

又A,C分别为椭圆的上、下顶点,|AC|=4,

所以2b=4,即b=2,

所以a2-c2=b2=4,

即a2-59a2=49a2=4,则a2=9.

所以椭圆E的方程为x29+y24=1.

(2)证明因为椭圆E的方程为x29+y24=1,所以A(0,2),C(0,-2),B(-3,0),D(3,0).



因为P为第一象限内E上的动点,

设P(m,n)(0b>0)的离心率为22,其左焦点为F1(-2,0).

(1)求Γ的方程;

(2)如图,过Γ的上顶点P作动圆F1的切线分别交Γ于M,N两点,是否存在圆F1使得△PMN是以PN为斜边的直角三角形?若存在,求出圆F1的半径;若不存在,请说明理由.



解(1)由题意设焦距为2c,则c=2.

因为离心率为22,即ca=22,所以a=22.

则b2=a2-c2=4,

故Γ的方程为x28+y24=1.

(2)不存在.理由:假设存在圆F1满足题意,

当圆F1过原点O时,直线PN与y轴重合,

直线PM的斜率为0,不合题意.

依题意不妨设PM:y=k1x+2(k1≠0),

PN:y=k2x+2(k2≠0),

M(x1,y1),N(x2,y2),圆F1的半径为r,

则圆心F1到直线PM的距离为|-2k1+2|1+k12=r,

圆心F1到直线PN的距离为|-2k2+2|1+k22=r,

故k1,k2是关于k的方程(r2-4)k2+8k+r2-4=0的两个相异实根,此时k1k2=1.

联立y=k1x+2,x28+y24=1,得(1+2k12)x2+8k1x=0,

所以xP+xM=-8k11+2k12,

即xM=-8k11+2k12,则yM=2-4k121+2k12,

所以M-8k11+2k12,2-4k121+2k12,

同理N-8k21+2k22,2-4k221+2k22.

由k2=1k...