第16节 解析几何中的融合创新问题

题型分析解析几何中的融合创新问题主要有以下几个方面:(1)与圆锥曲线有关的新定义问题;

(2)圆锥曲线与数列的交汇问题;(3)圆锥曲线与导数的交汇问题.



题型一与圆锥曲线有关的新定义问题

例1(2025·石家庄调研)在平面直角坐标系xOy中,重新定义两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的“距离”为|AB|=|x2-x1|+|y2-y1|,我们把到两定点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0)的“距离”之和为常数2a(a>c)的点的轨迹叫“椭圆”.

(1)求“椭圆”的方程;

(2)根据“椭圆”的方程,研究“椭圆”的范围、对称性,并说明理由;

(3)设c=1,a=2,作出“椭圆”的图形,设此“椭圆”的外接椭圆为C,C的左顶点为A,过F2作直线交C于M,N两点,△AMN的外心为Q,求证:直线OQ与MN的斜率之积为定值.

(1)解设“椭圆”上任意一点为P(x,y),



则|PF1|+|PF2|=2a,

即|x+c|+|y|+|x-c|+|y|=2a,

即|x+c|+|x-c|+2|y|=2a(a>c>0),

所以“椭圆”的方程为|x+c|+|x-c|+2|y|=2a(a>c>0).

(2)解由方程|x+c|+|x-c|+2|y|=2a,

得2|y|=2a-|x+c|-|x-c|,

因为|y|≥0,所以2a-|x+c|-|x-c|≥0,

即2a≥|x+c|+|x-c|,

所以x≤-c,-x-c-x+c≤2a或-c0恒成立,

则y1+y2=-2mm2+3,y1y2=-3m2+3,

因为AM的中点为x1-22,y12,kAM=y1x1+2=y1my1+3,

所以直线AM的中垂线的方程为

y=-my1+3y1x-y1,

同理直线AN的中垂线的方程为

y=-my2+3y2x-y2,

设Q(x0,y0),则y1,y2是方程y0=-my+3yx0-y的两根,

即y1,y2是方程y2+(mx0+y0)y+3x0=0的两根,

所以y1+y2=-(mx0+y0),y1y2=3x0,

又因为y1+y2=-2mm2+3,y1y2=-3m2+3,

所以-(mx0+y0)=-2mm2+3,3x0=-3m2+3,

两式相比得-mx0-y03x0=2m3,所以y0x0=-3m,

所以kMN·kOQ=y0x0·1m=-3,

所以直线OQ与MN的斜率之积为定值-3.

思维建模1.题干中定义“椭圆”的距离:|AB|=|x2-x1|+|y2-y1|称为曼哈顿距离,平面内到一个定点的曼哈顿距离等于定值的点的轨迹是一个正方形,到两个定点的距离之和等于定值的点的轨迹是一个六边形.

2.解决与曼哈顿距离有关的问题一般要利用绝对值的意义求解.

训练1(2024·武汉模拟)已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,若△ABC的三个顶点都在抛物线E上,且满足FA+FB+FC=0,则称该三角形为“核心三角形”.

(1)设“核心三角形ABC”的一边AB所在直线的斜率为2,求直线AB的方程;

(2)已知△ABC是“核心三角形”,证明:△ABC三个顶点的横坐标都小于2.

(1)解设直线AB的方程为y=2x+t,

与y2=4x联立得y2-2y+2t=0,

由Δ=4-8t>0得t0,所以n>-m2,y2+y3=4m,y2y3=-4n,

所以x2+x3=m(y2+y3)+2n=4m2+2n.

由(1)知x1+x2+x3=3,y1+y2+y3=0,

所以x1=3-4m2-2n,y1=-4m,

即点A的坐标为(3-4m2-2n,-4m).

又点A在抛物线y2=4x上,所以16m2=4(3-4m2-2n),

所以n=32-4m2,

又n>-m2,所以m20),点P1(5,4)在C上,k为常数,0t1t2·2t1t2=2(t1t2)32=2ex1+x2,

所以x1+x20,

故h(x)在-∞,-12ln2上单调递减,

在-12ln2,+∞上单调递增.

故有x1h(-ln2-x2).

下证:当x∈-12ln2,+∞时,

有h(x)>h(-ln2-x),

设函数H(x)=h(x)-h(-ln2-x)(其中x>-12ln2),

则H'(x)=h'(x)+h'(-ln2-x)

=(2e2x-1)21+12e-2x+14e-4x>0,

故H(x)单调递增,

故H(x)>H-12ln2=0,

故h(x1)=h(x2)>h(-ln2-x2),

所以x1+x2x024.

直线族Ω的包络曲线E为y=x24.

证明:在y=x24上任取一点Qx1,x124,

y=x24在该点处的切线斜率为k=x12,

于是可以得到y=x24在Qx1,x124点处的切线方程为y=x12x-x124,即-2x1x+4y+x12=0.

令直线族Ω:(2a-4)x+4y+(a-2)2=0中2a-4=-2x1,

则直线为-2x1x+4y+x12=0,

所以该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.

而对任意a∈R,(2a-4)x+4y+(a-2)2=0都是抛物线在点2-a,(2-a)24处的切线.

所以直线族Ω的包络曲线E为y=x24.

(3)法一已知C(0,1),设A(x1,y1),B(x2,y2),

则CA=(x1,y1-1),CB=(x2,y2-1),|CA|=x124+1,|CB|=x224+1;

由(2)知y=x24在点A(x1,y1)处的切线方程为

y=x12x-x124;

同理y=x24在点B(x2,y2)处的切线方程为y=x22x-x224;

联立y=x12x-x124,y=x22x-x224,可得Px1+x22,x1x24,

所以CP=x1+x22,x1x24-1.

因为CA·CP=x1·x1+x22+x1x24-1x124-1

=x124+x1x24+x13x216+1=x124+1x1x24+1,

同理CB·CP=x224+1x1x24+1.

所以CA·CP|CA|·|CP|=x124+1x1x24+1|CP|x124+1=x1x24+1|CP|,

CB·CP|CB|·|CP|=x224+1x1x24+1|CP|x224+1=x1x24+1|CP|,

即CA·CP|CA|·|CP|=CB·CP|CB|·|CP|,

可得cos∠PCA=cos∠PCB,

所以∠PCA=∠PCB成立.

法二过A,B分别作准线的垂线AA',BB',连接A'P,B'P,如图所示.



则A'(xA,-1),

因为kPA=y'|x=xA=xA2,kA'C=-1-1xA=-2xA,

显然kPA·kA'C=-1.

又由抛物线定义得AA'=AC,故PA为线段A'C的中垂线,得到PA'=PC,即∠PA'A=∠PCA.

同理可知∠PB'B=∠PCB,PB'=PC,

所以PA'=PC=PB',即∠PA'B'=∠PB'A'.

则∠PA'A=∠PA'B'+90°=∠PB'A'+90°=∠PB'B,

所以∠PCA=∠PCB成立.

2.(2025·南通模拟)在平面直角坐标系xOy中,若在曲线C1的方程F(x,y)=0中,以(λx,λy)(λ为非零的正实数)代替(x,y)得到曲线C2的方程F(λx,λy)=0,则称曲线C1,C2关于原点“伸缩”,变换(x,y)→(λx,λy)称为“伸缩变换”,λ称为伸缩比.

(1)已知C1的方程为x29-y24=1,伸缩比λ=2,求C1关于原点“伸缩变换”所得曲线C2的方程;

(2)射线l的方程y=22x(x≥0),如果椭圆C1:x216+y24=1经“伸缩变换”后得到椭圆C2,若射线l与椭圆C1,C2分别交于两点A,B,且|AB|=2,求椭圆C2的方程;

(3)对抛物线C1:y2=2p1x,作变换(...