课标要求1.理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.2.能用两个原理解决简单的实际问题.



【知识梳理】

1.分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.

2.分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.

3.分类加法和分步乘法计数原理的区别在于:分类加法计数原理针对“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,只有各个步骤都完成了才算完成这件事.

[常用结论与微点提醒]

分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础,并贯穿其始终.

(1)分类加法计数原理中,完成一件事的方法属于其中一类,并且只属于其中一类.

(2)分步乘法计数原理中,各个步骤中的方法相互依存,步与步之间“相互独立,分步完成”.

【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成一件事.()

(2)在分步乘法计数原理中,每个步骤的方法都能单独完成一件事.()

(3)在运用计数原理时,分类的标准是唯一的.()

(4)在处理较为复杂的计数问题时,一定要先分类再分步.()

答案(1)√(2)×(3)×(4)×

解析(2)中每个步骤无法单独完成一件事,各步缺一不可;(3)中分类标准并不唯一,但要标准一致、不重不漏;(4)中有时候也可以先分步再进行分类.

2.(苏教选修二P63T6原题)若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组,每人选报1项,则不同的报名方式有()

A.34种B.43种

C.3×2×1种D.4×3×2种

答案A

解析4名学生,每人有3种可选方案,根据分步计数原理,

4人共有3×3×3×3=34种,故选A.

3.(人教A选修三P11T1改编)乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后共有项数为()

A.11B.16

C.45D.144

答案C

解析三个因式各取一项相乘可得展开式中的项,由分步乘法原理知项数为3×3×5=45.

4.(北师大选修一P162习题5-1T1改编)在1,2,3,…,200中,被5整除余1的数共有个.

答案40

解析根据加法原理分两类:

第一类,末位为1,有1,11,21,…,191,共191-110+1=20个;

第二类,末位为6,有6,16,26,…,196,共196-610+1=20个,

综上,共20+20=40个.



考点一分类加法计数原理

例1(1)(2025·南宁质检)甲、乙、丙三人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽子又被踢回给甲,则不同的传递方式共有()

A.4种B.6种

C.10种D.16种

答案B

解析分两类:甲第一次踢给乙时,有3种满足条件的传递方式(如图):



同理,甲第一次踢给丙时,满足条件的也有3种传递方式,

由分类加法计数原理,可知不同传递方式的种数为3+3=6.

(2)椭圆x2m+y2n=1(m>0,n>0)的焦点在x轴上,且m∈{1,2,3,4,5},n∈{1,2,3,4,5,6,7},则这样的椭圆的个数为.

答案10

解析因为椭圆的焦点在x轴上,所以m>n,

以m的值为标准分类,分为四类.

第一类:m=5时,n有4种选择;

第二类:m=4时,n有3种选择;

第三类:m=3时,n有2种选择;

第四类:m=2时,n有1种选择.

由分类加法计数原理,符合条件的椭圆共有4+3+2+1=10(个).

思维建模使用分类加法计数原理的两个注意点

(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准,分类标准要统一,不能遗漏.

(2)分类时,注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类,不能重复.

训练1(1)集合P={x,1},Q={y,1,2},其中x,y∈{1,2,3,…,9},且P?Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x,y)作为一个点的坐标,则这样的点的个数是()

A.9B.14

C.15D.21

答案B

解析当x=2时,x≠y,点的个数为1×7=7.

当x≠2时,由P?Q,∴x=y.

∴x可从3,4,5,6,7,8,9中取,有7种方法.

因此满足条件的点共有7+7=14(个).

(2)已知两条异面直线a,b上分别有5个点和8个点,则这13个点可以确定个平面.

答案13

解析异面直线a与异面直线b上的8个点中的任意一个点都可以构成一个平面;异面直线b与异面直线a上的5个点中的任意一个点都可以构成一个平面,

∴共可以确定8+5=13个平面.

考点二分步乘法计数原理

例2(1)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径系数为()



A.24B.18

C.12D.9

答案B

解析由题意可知E到F共有6条最短路径,

F到G共有3条最短路径,由分步乘法计数原理知,共有6×3=18(条)最短路径.

(2)(2024·新高考Ⅱ卷)在如图的4×4的方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有种选法,在所有符合上述要求的选法中,选中方格中的4个数之和的最大值是.

11

21

31

40

12

22

33

42

13

22

33

43

15

24

34

44

答案24112

解析第一步,从第一行任选一个数,共有4种不同的选法;

第二步,从第二行选一个与第一个数不同列的数,共有3种不同的选法;

第三步,从第三行选一个与第一、二个数均不同列的数,共有2种不同的选法;

第四步,从第四行选一个与第一、二、三个数均不同列的数,只有1种选法.

由分步乘法计数原理知,不同的选法种数为4×3×2×1=24.

先按列分析,每列必选出一个数,故所选4个数的十位上的数字分别为1,2,3,4.

再按行分析,第一、...