课标要求1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征,能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题.3.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图.



【知识梳理】

1.空间几何体的结构特征

(1)多面体的结构特征

名称

棱柱

棱锥

棱台

图形







底面

互相平行且全等

多边形

互相平行

且相似

侧棱

平行且相等

相交于一点,

但不一定相等

延长线交于一点

侧面形状

平行四边形

三角形

梯形

(2)旋转体的结构特征

名称

圆柱

圆锥

圆台

球

图形









母线

互相平行且相等,垂直于底面

相交于

一点

延长线交

于一点








轴截面

矩形

等腰

三角形

等腰梯形

圆

侧面展

开图

矩形

扇形

扇环








2.直观图的斜二测画法

(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°),z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.

(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.

3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式



圆柱

圆锥

圆台

侧面展开图







侧面积公式

S圆柱侧=2πrl

S圆锥侧=πrl

S圆台侧=π(r1+r2)l

4.简单几何体的表面积和体积公式

几何体

表面积

体积

柱体

(棱柱和圆柱)

S表面积=S侧+2S底

V=Sh

锥体

(棱锥和圆锥)

S表面积=S侧+S底

V=13Sh

台体

(棱台和圆台)

S表面积=S侧+S上+S下

V=13(S上+S下+S上S下)h

球

S=4πR2

V=43πR3

[常用结论与微点提醒]

1.与体积有关的几个结论

(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.

(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理).

2.直观图与原平面图形面积间的关系S直观图=24S原图形.

【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线.()

(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.()

(3)菱形的直观图仍是菱形.()

(4)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方.()

答案(1)×(2)×(3)×(4)×

解析(1)不一定,只有当这两点的连线平行于轴时才是母线,(1)错误.

(2)反例:如图所示的图形满足条件但不是棱锥,(2)错误.



(3)用斜二测画法画水平放置的菱形的直观图是平行四边形,但邻边不一定相等,(3)错误.

(4)球的体积之比等于半径比的立方,故(4)错误.

2.(人教A必修二P106T8改编)如图,长方体ABCD-A′B′C′D′被截去一部分,其中EH∥A′D′∥FG,则剩下的几何体是()



A.棱台B.四棱柱

C.五棱柱D.六棱柱

答案C

解析由于平面ABFEA′∥平面DCGHD′,且AD,BC,FG,EH,A′D′相互平行且相等,

所以剩下的几何体是五棱柱.

3.(苏教必修二P161练习T4改编)下列说法正确的是()

A.相等的角在直观图中仍然相等

B.相等的线段在直观图中仍然相等

C.正方形的直观图是正方形

D.若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行

答案D

解析由直观图的画法规则知,角度、长度都有可能改变,而线段的平行关系不变,正方形的直观图是平行四边形.

4.已知圆锥的底面半径为2,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为.

答案22

解析设圆锥的母线长为l,

因为该圆锥的底面半径为2,侧面展开图为一个半圆,所以2π×2=πl,解得l=22.



考点一基本立体图形

角度1结构特征

例1(多选)下列说法中正确的是()

A.以直角梯形垂直于底面的腰所在直线为旋转轴,其余边旋转一周形成的几何体是圆台

B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱

C.底面是正多边形的棱锥是正棱锥

D.棱台的各侧棱延长后必交于一点

答案AD

解析由圆台定义知,以直角梯形垂直于底边的腰为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体是圆台,故A正确;

由棱柱定义可知,棱柱是有两个面平行,其余各面都是平行四边形,且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行的几何体,故B错误;

底面是正多边形的棱锥,但不能保证顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心,故C错误;

棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的,故棱台的各侧棱延长后必交于一点,故D正确.

思维建模空间几何体结构特征的判断技巧

(1)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定.

(2)通过反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可.

角度2直观图

例2如图,矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O′A′=6cm,O′C′=2cm,C′D′=

2cm,则原图...