课标要求1.在平面直角坐标系中,探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等).



【知识梳理】

1.直线的方向向量

设A,B为直线上的两点,则AB就是这条直线的方向向量.

2.直线的倾斜角

(1)定义:当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角;

(2)规定:当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°;

(3)范围:直线的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α0

不存在

kα2,但其对应斜率k1=-1,k2=1,k10)可能是()



答案B

解析因为k>0,故A,C不正确;

当x=-1时,y=0,直线过点(-1,0),故选B.

3.(北师大选修一P8T3改编)已知直线l的一个方向向量v=(3,1),则直线l的斜率为()

A.-3B.3

C.-13D.13

答案D

解析因为v=(3,1),故直线的斜率为k=13.

4.(人教A选修一P67习题2.2T2改编)已知A(3,5),B(4,7),C(-1,x)三点共线,则x=.

答案-3

解析因为A,B,C三点共线,所以kAB=kAC,

所以7-54-3=x-5-1-3,

所以x=-3.



考点一直线的倾斜角与斜率

例1(1)已知直线l的一个方向向量为p=sinπ3,cosπ3,则直线l的倾斜角为()

A.π6B.π3

C.2π3D.4π3

答案A

解析由题意得,直线l的斜率k=cosπ3sinπ3=33=tanπ6,即直线l的倾斜角为π6.

(2)已知两点A(2,-3),B(-3,2),直线l过点P(1,1)且与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围是()

A.-4≤k≤-14B.k≤-4或k≥-14

C.-4≤k≤34D.-34≤k≤4

答案B

解析结合图形,由题意得,所求直线的斜率k满足k≥kPB或k≤kPA,



即k≥-14或k≤-4,

即直线的斜率的取值范围是k≤-4或k≥-14.

思维建模1.斜率的三种求法:定义法、斜率公式法、方向向量法.

2.倾斜角和斜率范围求法:(1)图形观察(数形结合);(2)充分利用函数k=tanα的单调性.

3.当直线l的倾斜角α∈0,π2时,α越大,直线l的斜率越大;当α∈π2,π时,α越大,直线l的斜率越大.

训练1(1)(2025·贵阳调研)直线l1,l2的倾斜角分别为α,β,则“α=β”是“tanα=tanβ”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析由题意知,α,β∈[0,π),

所以若tanα=tanβ,则α=β;

若α=β=π2,则不存在tanα,tanβ,就不可能得到tanα=tanβ.

所以“α=β”是“tanα=tanβ”的必要不充分条件.

(2)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,3)为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为;倾斜角的取值范围为.

答案(-∞,-3]∪[1,+∞)π4,2π3

解析如图,当直线l过点B时,设直线l的斜率为k1,



则k1=3-00-1=-3;

当直线l过点A时,设直线l的斜率为k2,则k2=1-02-1=1,

所以要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率的取值范围是(-∞,-3]∪[1,+∞),

倾斜角的取值范围是π4,2π3.

考点二直线的方程

例2求符合下列条件的直线方程:

(1)直线过点A(-1,-3),且斜率为-14;

(2)直线过点A(0,-1)和B(-1,5);

(3)直线过点A(2,1),且横截距为纵截距的两倍.

解(1)∵所求直线过点A(-1,-3),且斜率为-14,

∴所求直线方程为y+3=-14(x+1),

即x+4y+13=0.

(2)法一(两点式)由A(0,-1)和B(-1,5)得两点式方程为y+15+1=x-0-1-0,

整理得6x+y+1=0.

法二(点斜式)由A(0,-1)和B(-1,5)得kAB=5+1-1-0=-6,

直线方程为y+1=-6(x-0),整理得6x+y+1=0.

(3)当横截距与纵截距都为0时,可设直线方程为y=kx,

又直线过点(2,1),∴1=2k,解得k=12,

∴直线方程为y=12x,即x-2y=0;

当横截距与纵截距都不为0时,可设直线方程为xa+yb=1,

由题意可得2a+1b=1,a=2b,解得a=4,b=2,

∴直线方程为x4+y2=1,即x+2y-4=0;

综上,所求直线方程为

x-2y=0或x+2y-4=0.

思维建模1.在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件.

2.对于点斜式、截距式方程,要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况;若采用截距式,应判断截距是否为零).

训练2(1)(多选)(2025·武汉质检)下列说法正确的是()

A.截距相等的直线都可以用方程xa+ya=1表示

B.方程x+my-2=0(m∈R)能表示平行y轴的直线

C.经过点P(1,1),倾斜角为θ的直线方程为y-1=tanθ(x-1)

D.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程为(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0

答案BD

解析若直线过原点,此时横、纵截距都为0,

则不能用方程xa+ya=1表示,所以A不正确;

当m=0时,直线方程为x=2,所以B正确;

若直线的倾斜角为90°,则该直线的斜率不存在,不能用y-1=tanθ(x-1)表示,

所以C不正确;

设点P(x,y)是经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线上的任意一点,根据P1P2∥P1P可得(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0,所以D正确.

(2)已知直线l过点(1,0),且倾斜角为直线l0:x-2y-2=0的倾斜角的2倍,则直线l的方程为.

答案4x-3y-4=0

解析由题意可设直线l0,l的倾斜角分别为α,2α,

因为直线l0:x-2y-2=0的斜率为12,

则tanα=12,

所以直线l的斜率k=tan2α=2tanα1-tan2α=2×121-122=43,

所以由点斜式可得直线l的方程为y-0=43(x-1),即4x-3y-4=0.

考点三直线方程的综合应用

例3已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).

(1)证明:直线l过定点;

(2)若直线不经过第四象限,求k的取值范围;

(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,△AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值并求此时直线l的方程.

(1)证明直...