课标要求1.理解随机抽样的必要性和重要性.2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本,了解分层随机抽样方法,掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差.3.理解统计图表的含义.



【知识梳理】

1.总体、个体、样本

调查对象的全体(或调查对象的某些指标的全体)称为总体,组成总体的每一个调查对象(或每一个调查对象的相应指标)称为个体,在抽样调查中,从总体中抽取的那部分个体称为样本,样本中包含的个体数称为样本容量,简称样本量.

2.简单随机抽样

(1)简单随机抽样分为放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样(除非特殊声明,本章所指的简单随机抽样是指不放回简单随机抽样).

(2)简单随机样本:通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.

(3)简单随机抽样的常用方法:抽签法和随机数法.

3.分层随机抽样

(1)分层随机抽样的概念

一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子总体称为层.

(2)比例分配的分层随机抽样所获得样本的均值与方差

利用比例分配的分层(两层)随机抽样获得的样本中,第一层的样本量为n1,均值为x1,方差为s12;第二层的样本量为n2,均值为x2,方差为s22,则总的样本均值x=n1n1+n2x1+n2n1+n2x2,总的样本方差s2=n1n1+n2[s12+(x1-x)2]+n2n1+n2[s22+(x2-x)2].

4.统计图表

(1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图、频率分布直方图等.

(2)频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义



[常用结论与微点提醒]

1.不论哪种抽样方法,总体中的每一个个体入样的概率都是相同的.

2.分层随机抽样是按比例抽样,每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比.

3.频率分布直方图中小长方形高=频率组距.

【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)简单随机抽样中,每个个体被抽到的机会不一样,与先后有关.()

(2)抽签法和随机数法都是简单随机抽样的方法.()

(3)分层随机抽样中,每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.()

(4)频率分布直方图中,小长方形的面积越大,表示样本数据落在该区间的频率越大.()

答案(1)×(2)√(3)×(4)√

解析(1)简单随机抽样中,每个个体被抽到的机会一样,与先后无关.

(3)分层随机抽样中,每个个体被抽到的可能性与层数及分层无关.



2.(苏教必修二P236例1改编)(多选)某企业2024年年度营业费用情况如图所示,则下面说法中正确的是()



A.基本工资占比最高

B.奖金高于基本工资

C.加班费与包装费相同

D.工人支出占比不到40%

答案CD

解析加班费与包装费同为8%,故相同;

工人支出包括基本工资、加班费和奖金,占比18%+8%+11%=37%,不到40%.

3.(人教B必修二P90习题5-1AT2改编)已知某地区有小学生12000人,初中生11000人,高中生9000人,现在要了解该地区学生的近视情况,准备抽取320人进行调查,则应该抽取小学生、初中生、高中生的人数分别是.

答案120,110,90

解析小学生、初中生、高中生人数的比例为12000∶11000∶9000=12∶11∶9,

故抽取人数分别为320×1212+11+9=120,320×1112+11+9=110,320×912+11+9=90.

4.(人教A必修二P198T1原题)从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查,发现他们的用电量都在50kW·h~350kW·h之间,进行适当分组后(每组为左闭右开的区间),画出频率分布直方图如图所示.



(1)直方图中x的值为;

(2)在被调查的用户中,用电量落在区间[100,250)内的户数为.

答案(1)0.0044(2)70

解析(1)由(0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012)×50=1,

解得x=0.0044.

(2)用电量落在区间[100,250)内的频率为

(0.0036+0.0060+0.0044)×50=0.7,

则nN=n100=0.7,解得n=70.



考点一简单随机抽样

例1(1)(2025·南京调研)炎炎夏日,冰淇淋成为青年人的“消暑利器”,现用简单随机抽样的方法检测某品牌冰淇淋是否符合食品安全标准,若从21个冰淇淋中逐个抽取一个容量为3的样本,则其中某一个体A“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是()

A.121,120B.121,121

C.17,16D.17,17

答案B

解析在简单随机抽样的过程中,个体A每一次被抽到的概率都是相等的,因为总体容量为21,所以个体A“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为121.

(2)(2025·西安质检)已知某班共有学生46人,该班语文老师为了了解学生每天阅读课外书籍的时长情况,决定利用随机数法从全班学生中抽取10人进行调查.将46名学生按01,02,…,46进行编号.现提供随机数表的第7行至第9行:

84421753315724550688770474476721763350258392120676

60016378591695565719981050717512867358074439523879

33211234297864560782524207443815510013429966027954

若从表中第7行第41列开始向右依次读取2个数据,每行结束后,下一行依然从左向右读数,则得到的第8个样本编号是.

答案44

解析由题意可知,得到的样本编号依次为12,06,01,16,19,10,07,44,39,38,则得到的第8个样本编号是44.

思维建模1.简单随机抽样需满足:(1)被抽取的样本总体的个体数有限;(2)逐个抽取;(3)是不放回抽取;(4)是等可能抽取.(一次性抽取和逐个不放回抽取是等价的)

2.简单随机抽样常有抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况).

训练1(1)(多选)下列抽样方法是简单随机抽样的为()

A.在机器传送带上抽取30件产品作为样本

B.从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本

C.箱子里共有100个零件,今从中选取10个零件进行检验,在抽样操作时,每次任意地...