课标要求1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.



【知识梳理】

1.角的概念的推广

(1)定义:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形.

(2)分类按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.

(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.

2.弧度制的定义和公式

(1)定义:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,记作1rad.

(2)公式

角α的弧度数公式

|α|=lr(弧长用l表示)

角度与弧度的换算

1°=π180rad;1rad=180π°

弧长公式

弧长l=|α|r

扇形面积公式

S=12lr=12|α|r2

3.任意角的三角函数

(1)定义

前提

如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)



定义

正弦

y叫做α的正弦函数,记作sinα,即sinα=y



余弦

x叫做α的余弦函数,记作cosα,即cosα=x



正切

yx叫做α的正切函数,记作tanα,

即tanα=yx(x≠0)



三角

函数

正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,将它们统称为三角函数

(2)定义的推广

设P(x,y)是角α终边上异于原点的任一点,它到原点的距离为r(r>0),那么sinα=yr;cosα=xr,

tanα=yx(x≠0).

[常用结论与微点提醒]

1.三角函数值在各象限的符号规律:一全正,二正弦,三正切,四余弦.

2.象限角



3.轴线角



4.若角α∈0,π2,则sinα1.()

答案(1)×(2)×(3)√(4)√

解析(1)锐角的取值范围是0,π2.

(2)第一象限角不一定是锐角.

2.(苏教必修一P170例2改编)已知α是第一象限角,那么α2是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第一或二象限角D.第一或三象限角

答案D

解析易知2kπ0).

(1)已知扇形的周长为10cm,面积是4cm2,求扇形的圆心角;

(2)若扇形的周长为20cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大?

解(1)由题意得2R+Rα=10,12α·R2=4,

解得R=1,α=8(舍去),R=4,α=12.

故扇形的圆心角为12.

(2)由已知,得l+2R=20.

所以S=12lR=12(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25,

所以当R=5cm时,S取得最大值25cm2,

此时l=10cm,α=2.

思维建模应用弧度制解决问题时应注意:

(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.

(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题.

(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.

训练2(2025·沈阳调研)成都大运会官方体育图标——“十八墨宝”以大熊猫“奇一”为原型,将中国体育与中国书画、中国国宝的融合做到了极致.如图1所示,射箭的“水墨熊猫”以真实的射箭运动为原型,生动形象.在如图2所示的弓形中,弧中点到弦中点的距离为2cm,弦长为8cm,则弓形的面积约为(参考数据:sin74°≈0.96,π≈3.14)()



A.8.2cm2B.9.1cm2

C.11.1cm2D.4.1cm2

答案C

解析设弦AB的中点为D,AB的中点为C,圆弧所在圆的圆心为O,

连接AO,BO,CO,则CD=2cm,AB=8cm,AD=4cm,

如图,设圆的半径为Rcm,



∠AOC=θ,0°cosθ,则45°0,

则r=2a,故sinα=22,cosα=22,tanα=1,

sinα+cosα=2,

当角α的终边在第三象限时,在其终边上任取一点P(-a,-a),a>0,

则r=2a,故sinα=-22,cosα=-22,tanα=1,

sinα+cosα=-2,故选C.

(2)已知角α的终边过点P(-8m,-6sin30°),且cosα=-45,则m的值为()

A.-12B.-32

C.12D.32

答案C

解析由题意得点P(-8m,-3),r=64m2+9,

所以cosα=-8m64m2+9=-45,

所以m>0,解得m=12.

角度2三角函数值符号的判定

例4(2025·华东师大附中模拟)如果θ是第三象限角,则()

A.sin2θ>0且tan2θ>0

B.sinθ2>0且tan2θ>0

C.sin2θ>0且tanθ20且tanθ2>0

答案C

解析因为θ是第三象限角,

则2kπ+π0或sinθ20,当2θ的终边在y轴的非负半轴上时,tan2θ无意义,故排除A.

思维建模1.三角函数定义的应用

(1)直接利用三角函数的定义,找到给定角的终边上一个点的坐标,及这点到原点的距离,确定这个角的三角函数值.

(2)已知角的某一个三角函数值,可以通过三角函数的定义列出含参数的方程,求参数的值.

2.要判定三角函数值的符号,关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角,再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限,那就要进行分类讨论求解.

训练3(1)(多选)(2024·湖北部分学校联考)若角α的顶点在坐标原点,始边为x轴的非负半轴且

sinα·sinα+π2>0,则α的终边可能在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案AC

解析因为sinα·sinα+π2=sinαcosα>0,

若sinα>0,cosα>0,

则α的终边在第一象限;

若sinα0,则角θ是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

答案D

解析由tanθsinθ>0,得1cosθ>0,所以cosθ>0.

又sinθ·cosθ0,tanα=-320

C.sinα2>cosα2D.sinα2>cosα2

答案BD

解析由题设,2kπ+π20,sinα2>cosα2.B,D正确.

三、填空题

12.若α=1560°,角θ与α终边相同,且-360°<θ<360°,则θ=.

答案120°或-240°

解析因为α=1560°=4×360°+120°,

所以与α终边相同的角为360°×k+120°,k∈Z,

令k=-1或k=0,可得θ=-240°或θ=120°.

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