课标要求1.了解构成函数的三要素,会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.理解简单的分段函数,并能简单应用.



【知识梳理】

1.函数的概念

概念

一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数

三要素

对应关系

y=f(x),x∈A



定义域

x的取值范围



值域

与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}

2.同一个函数的概念

(1)前提条件:①定义域相同;②对应关系相同.

(2)结论:这两个函数为同一个函数.

3.函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.

4.分段函数

(1)若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.

(2)分段函数表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集.

[常用结论与微点提醒]

1.直线x=a(a是常数)与函数y=f(x)的图象至多有1个交点.

2.注意以下几种特殊函数的定义域:

(1)分式型函数,分母不为零的实数集合.

(2)偶次方根型函数,被开方式非负的实数集合.

(3)f(x)为对数式时,函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.

(4)若f(x)=x0,则定义域为{x|x≠0}.

【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)f(x)=x-3+2-x是一个函数.()

(2)函数就是定义域到值域的对应关系.()

(3)若A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|,其对应是从A到B的函数.()

(4)若两个函数的定义域与值域分别相同,则这两个函数是同一个函数.()

答案(1)×(2)×(3)×(4)×

解析(1)错误.x-3≥0,2-x≥0无解,可知其说法错误.

(2)错误.根据函数的概念可知其错误.

(3)错误.集合A中的元素0在集合B中无元素与之对应.

(4)错误.只有两个函数的定义域,对应关系分别相同时,这两个函数才是同一个函数.

2.(人教A必修一P66例3改编)下列函数中与函数y=x是同一个函数的是()

A.y=(x)2B.u=3v3

C.y=x2D.m=n2n

答案B

解析函数y=(x)2与函数m=n2n和y=x的定义域不同,则不是同一个函数,函数y=x2=|x|与y=x的解析式不同,也不是同一个函数,故选B.

3.(北师大必修一P55例2(2)改编)函数y=x+3+1x的定义域为.

答案[-3,0)∪(0,+∞)

解析由x+3≥0,x≠0,解得x≥-3,x≠0,

故函数的定义域为[-3,0)∪(0,+∞).

4.(苏教必修一P134T3改编)已知函数f(x)=x+3,-3≤x≤-2,1x+2,-20,2x-2≥0,解得1≤x1,3-x≥0,解得x>2,x≤3,即21,则f54=()

A.2B.52

C.32D.1

答案D

解析函数f(x)=x,0≤x≤1,2f(x-1),x>1,

所以f54=2f14=2×14=1.

角度2分段函数与方程、不等式

例4(1)已知函数f(x)=1-a·2x,x≤0,f(x-1)-f(x-2),x>0,若f(2030)=1,则实数a的值为()

A.0B.1

C.2D.4

答案D

解析因为当x>0时,f(x)=f(x-1)-f(x-2),

所以f(x+1)=f(x)-f(x-1),

f(x+1)=-f(x-2),

即f(x+3)=-f(x),

f(x+6)=-f(x+3)=f(x),

所以f(2030)=f(338×6+2)=f(2)

=-f(-1)=a2-1=1,则a=4.

(2)(2025·包头调研)设函数f(x)=1,x≤0,3x,x>0,则满足f(2x)>f(x+1)的x的取值范围是()

A.(-1,0)B.(1,+∞)

C.(0,1)D.(-1,1)

答案B

解析法一当x≤-1时,x+1≤0,2x≤-2,f(x+1)=1,f(2x)=1,

则f(2x)>f(x+1)不成立;

当-10,2x≤0,

f(x+1)=3x+1,f(2x)=1,

由f(2x)>f(x+1),得3x+10时,x+1>1,2x>0,f(x+1)=3x+1,f(2x)=32x,

由f(2x)>f(x+1),得32x>3x+1,

则2x>x+1,得x>1.

综上,满足f(2x)>f(x+1)的x的取值范围是(1,+∞).

法二画出f(x)的大致图象,如图所示.



若f(2x)>f(x+1),则2x>0>x+1或2x>x+1>0,解得x>1.

思维建模1.根据分段函数解析式求函数值,首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解.

2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时,应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.

提醒当分段函数的自变量范围不确定时,应分类讨论.

训练3(1)(2025·连云港模拟)已知函数f(x)=log2x,x>0,2x,x≤0,若f(a)=1,则a=.

答案0或2

解析当a>0时,log2a=1,解得a=2;

当a≤0时,2a=1,

解得a=0.

所以a=0或2.

(2)若函数f(x)=x2+1,x≤0,3,x>0,则f(f(-1))=,不等式f(x)>2的解集是.

答案3(-∞,-1)∪(0,+∞)

解析因为f(x)=x2+1,x≤0,3,x>0,

所以f(-1)=(-1)2+1=2,

所以f(f(-1))=f(2)=3.

当x≤0时,f(x)=x2+1>2,

则x2>1,解得x0时,f(x)=3>2恒成立,

所以不等式f(x)>2的解集是

(-∞,-1)∪(0,+∞).



一、单选题

1.函数f(x)=lg(x-2)+1x-3的定义域是()

A.(2,+∞)B.(2,3)

C.(3,+∞)D.(2,3)∪(3,+∞)

答案D

解析∵f(x)=lg(x-2)+1x-3,

∴x-2>0,x-3≠0,解得x>2,且x≠3,

∴函数f(x)的定义域为(2,3)∪(3,+∞).

2.(2025·吕梁调研)下面四组函数中,表示同一个函数的一组是()

A.f(x)=elnx,g(x)=x

B.f(x)=(x-1)2,g(x)=(x-2)2

C.f(x)=x2,g(t)=|t|

D.f(x)=3x,g(x)=x2x

答案C

解析对于A,因为f(x)的定义域为(0,+∞),g(x)的定义域为R,两函数定义域不相同,所以不是同一个函数,故A错误;

对于B,因为f(x)和g(x)的对应关系不一...