课标要求1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象,理解导数的几何意义.

3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(形如f(ax+b))的导数.



【知识梳理】

1.导数的概念

(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数记作f'(x0)或y'|x=x0,f'(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx.

(2)函数y=f(x)的导函数

f'(x)=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx.

2.导数的几何意义

函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,相应的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).

3.基本初等函数的导数公式

基本初等函数

导函数

f(x)=c(c为常数)

f'(x)=0

f(x)=xα(α∈R,且α≠0)

f'(x)=αxα-1

f(x)=sinx

f'(x)=cosx

f(x)=cosx

f'(x)=-sinx

f(x)=ax(a>0,且a≠1)

f'(x)=axlna

f(x)=ex

f'(x)=ex

f(x)=logax(a>0,且a≠1)

f'(x)=1xlna

f(x)=lnx

f'(x)=1x

4.导数的运算法则

若f'(x),g'(x)存在,则有:

(1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);

(2)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);

(3)f(x)g(x)'=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]2(g(x)≠0);

(4)[cf(x)]'=cf'(x).

5.复合函数的定义及其导数

复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'=yu'·ux',即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.

[常用结论与微点提醒]

1.可导奇函数的导数是偶函数,可导偶函数的导数是奇函数,可导周期函数的导数还是周期函数.

2.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点.并注意“在点P处的切线”,说明点P为切点,点P既在曲线上,又在切线上;“过点P处的切线”,说明点P不一定是切点,点P一定在切线上,但不一定在曲线上.

3.函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,|f'(x)|的大小反映了f(x)图象变化的快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.

【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的瞬时变化率.()

(2)函数f(x)=sin(-x)的导数f'(x)=cosx.()

(3)求f'(x0)时,可先求f(x0),再求f'(x0).()

(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.()

答案(1)√(2)×(3)×(4)×

解析(2)f(x)=sin(-x)=-sinx,则f'(x)=-cosx,错误.

(3)求f'(x0)时,应先求f'(x),再代入求值,错误.

(4)函数y=x2与x=0这条直线只有一个公共点,但它们相交,错误.



2.(人教B选修三P87例3改编)(多选)下列导数运算中正确的是()

A.(e5x-1)'=5e5x-1

B.(ln(2x+1))'=22x+1

C.(2x-1)'=12x-1

D.sin2x+π3'=-2cos2x+π3

答案ABC

解析选项D中,sin2x+π3'=2cos2x+π3.

3.(人教A选修二P81T6改编)已知函数f(x)满足f(x)=f'π4cosx-sinx,则f'π4=.

答案1-2

解析f'(x)=-f'π4sinx-cosx,

令x=π4,得f'π4=-22f'π4-22,

解得f'π4=1-2.

4.(人教A选修二P82T11改编)已知曲线y=xex在点(1,e)处的切线与曲线y=alnx+2在点(1,2)处的切线平行,则a=.

答案2e

解析由y=xex,得y'=ex(x+1),

所以该曲线在点(1,e)处的切线斜率为2e,

由y=alnx+2,得y'=ax,

所以该曲线在点(1,2)处切线斜率为a.

因为两切线平行,所以a=2e.





考点一导数的概念

例1已知f(x)在x0处的导数f'(x0)=k,求下列各式的值:

(1)limΔx→0f(x0)-f(x0-Δx)2Δx;

(2)limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0-Δx)Δx.

解(1)∵limΔx→0f(x0)-f(x0-Δx)x0-(x0-Δx)=f'(x0),

即limΔx→0f(x0)-f(x0-Δx)Δx=f'(x0)=k,

∴limΔx→0f(x0)-f(x0-Δx)2Δx=k2.

(2)∵limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0-Δx)2Δx=k,

∴limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0-Δx)Δx=2k.

思维建模由导数的定义可知,若函数y=f(x)在x=x0处可导,则f'(x0)=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx,它仅与x0有关,与Δx无关,因此使用导数的定义时要明确公式的形式,当分子为f(1-Δx)-f(1)时,分母也应该是(1-Δx)-1,要注意公式的变形.

训练1(1)limh→0sin(x+2h)-sinxh=()

A.0B.2cosx

C.cos2xD.2cos2x

答案B

解析limh→0sin(x+2h)-sinxh=2limh→0sin(x+2h)-sinx2h=2(sinx)'=2cosx.

(2)若f'(x)是函数f(x)的导数,且f'(a)=-1,则limx→af(3x-2a)-f(3a-2x)x-a=()

A.-5B.-4

C.-1D.0

答案A

解析limx→af(3x-2a)-f(3a-2x)x-a=

5limx→af(3x-2a)-f(3a-2x)(3x-2a)-(3a-2x)=5f'(a)=-5.

考点二导数的运算

例2求下列函数的导数:

(1)y=x2sinx;(2)y=ln1+x2;

(3)y=cosxex;

(4)y=xsin2x+π2cos2x+π2.

解(1)y'=(x2)'sinx+x2(sinx)'

=2xsinx+x2cosx.

(2)y'=11+x2·(1+x2)'=x1+x2.

(3)y'=cosxex'=(cosx)'ex-cosx(ex)'(ex)2

=-sinx+cosxex.

(4)∵y=xsin2x+π2cos2x+π2

=12xsin(4x+π)=-12xsin4x,

∴y'=-12sin4x-12x·4cos4x

=-12sin4x-2xcos4x.

思维建模1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商,再利用运算法则求导.

2.抽象函数求导,恰当赋值是关键,然后活用方程思想求解.

3.复合函数求导,应由外到内逐层求导,必要时要进行换元.

训练2(1)(多选)(2025·河南名校调研)下列求导运算正确的是()

A.x+1x'=1-1x2

B.(e2x)'=e2x

C.(log2x)'=1xln2

D.cosxx'=xsinx+cosxx2

答案AC

解析对于A,x+1x'=1-...