课标要求1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.



【知识梳理】

1.向量的有关概念

(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,用有向线段表示,此时有向线段的方向就是向量的方向.向量AB的大小就是向量的长度(或称模),记作|AB|.

(2)零向量:长度为0的向量,记作0.

(3)单位向量:长度等于1个单位长度的向量.

(4)平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.向量a,b平行,记作a∥b.

规定:0与任一向量平行.

(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量.

2.向量的线性运算

向量运算

定义

法则(或几何意义)

运算律

加法

求两个向量和的运算



三角形法则



平行四边形法则

(1)交换律:a+b=b+a

(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c)

减法

求两个向量差的运算



三角形法则

a-b=a+(-b)

数乘

规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa

(1)|λa|=|λ||a|;

(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ|b|,则a>b

D.两个终点相同的向量,一定是共线向量

答案A

解析对于A,向量AB与向量BA的长度相等,方向相反,故A正确;

对于B,向量a与b平行,且a或b为零向量时,不满足条件,故B错误;

对于C,因为向量是既有大小又有方向的量,

所以任意两个向量都不能比较大小,故C错误;

对于D,两个终点相同的向量,不一定是共线向量,故D错误.

(2)如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心,则与BC相等的向量为()



A.BAB.CD

C.ADD.OD

答案D

解析A,B选项均与BC方向不同,C选项与BC长度不相等,D选项与BC方向相同,长度相等.

考点二平面向量的线性运算

例2(1)(2025·深圳模拟)在△ABC中,D是线段AB上靠近B的四等分点,E是线段CD上靠近D的三等分点,则AE=()

A.-23CA+13CBB.12CA-56CB

C.-56CA+12CBD.-13CA+23CB

答案C

解析如图,由题意得CE=23CD,AD=34AB,



故AE=AC+CE

=AC+23CD

=AC+23(AD-AC)

=13AC+23AD=13AC+12AB

=-13CA+12(CB-CA)

=-56CA+12CB.

(2)(2025·大连双基测试)在△ABC中,若AD=mDB,CD=13CA+λCB,则λ=()

A.23B.13

C.-13D.-23

答案A

解析法一若AD=mDB,

则AB=AD+DB=1m+1AD,

可得AD=m1+mAB,

∴CD=CA+AD=CA+m1+mAB

=CA+m1+m(CB-CA)=11+mCA+m1+mCB,

结合题意,得11+m=13,m1+m=λ,

解得m=2,λ=23.

法二过点D作DM∥BC,DN∥AC,分别交AC,BC于点M,N,

∵AD=mDB,

∴点D在AB上,又CD=13CA+λCB,

∴M为线段AC上靠近C的三等分点,如图,



CD为平行四边形CMDN的对角线,

∴D为线段AB上靠近B的三等分点,

∴N为线段BC上靠近B的三等分点,

∴λ=23.

思维建模平面向量线性运算的常见类型及解题策略

(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则;求差用向量减法的几何意义.

(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来,进行比较,求参数的值.

训练2(1)(2025·长沙调研)已知D是△ABC所在平面内一点,AD=35AB+25AC,则()

A.BD=25BCB.BD=35BC

C.BD=32BCD.BD=23BC

答案A

解析由AD=35AB+25AC,

得AB+BD=35AB+25AC,

得BD=-25AB+25AC,

得BD=25(-AB+AC)=25BC.

(2)(2025·西安模拟)在△ABC中,D在BC上,且BD=2DC,E在AD上,且AD=4AE.若BE=xAB+yAC,则x+y=()

A.1312B.34

C.-34D.-1312

答案C

解析因为BD=2DC,所以BD=23BC,



则AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=13AB+23AC.

又AD=4AE,所以AE=14AD

=112AB+16AC,

则BE=AE-AB=-1112AB+16AC,

又BE=xAB+yAC,

所以x=-1112,y=16,

则x+y=-1112+16=-34.

考点三共线向量定理的应用

例3(1)(2025·泰州调研)设e1,e2是两个不共线的向量,若向量m=-e1+ke2(k∈R)与向量n=ke1-4e2(k∈R)共线,则()

A.k=0B.k=±2

C.k=2D.k=-2

答案B

解析因为e1,e2是两个不共线的向量,

且m=-e1+ke2,n=ke1-4e2(k∈R)共线,

所以存在实数λ∈R,

使得m=λn,

则-1=kλ,k=-4λ,解得k=2,λ=-12或k=-2,λ=12,

则k=±2.

(2)(2025·衡水调研)已知点O是△ABC的重心,过点O的直线与边AB,AC分别交于M,N两点,D为边BC的中点.若AD=xAM+yAN(x,y∈R),则x+y=()

A.32B.23

C.2D.12

答案A

解析如图所示,由三角形重心的性质,



可得AOAD=23,

所以AD=32AO,

所以32AO=xAM+yAN,

即AO=23xAM+23yAN.

易知M,O,N三点共线,

可得23x+23y=1,所以x+y=32.

思维建模利用共线向量定理解题的策略

(1)a∥b?a=λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.

(2)当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线,即A,B,C三点共线?AB,AC共线.

(3)若a与b不共线且λa=μb,则λ=μ=0.

(4)OA=λOB+μOC(λ,μ为实数),若A,B,C三点共线(O不在直线BC上),则λ+μ=1.

训练3(1)已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,OA=3e1+2e2,OB=4e1+ke2,OC=5e1-4e2,若A,B,C三点共线,则实数k的值为()

A.-1B.0

C.1D.2

答案A

解析法一因为OA=3e1+2e2,<...