第1节 数列的概念与简单表示法(2026版创新设计高考数学总复习配套word文档教师版)  人教版

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课标要求1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数,理解单调性是数列的一项重要性质,可用来求最值.



【知识梳理】

1.数列的定义

按照确定的顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.

2.数列的分类

分类标准

类型

满足条件

项数

有穷数列

项数有限



无穷数列

项数无限

项与项

间的大

小关系

递增数列

an+1>an

其中n∈N*



递减数列

an+1f(x-1)+f(x-2),且当x100B.f(20)>1000

C.f(10)f(x-1)+f(x-2),

令x=3,得f(3)>f(2)+f(1)=2+1=3;

令x=4,得f(4)>f(3)+f(2)>3+2=5;

令x=5,得f(5)>f(4)+f(3)>5+3=8;

不等式右侧恰好是裴波那契数列从第3项起的各项:

3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,…,

显然f(16)>1000,所以f(20)>1000,故选B.

斐波那契数列

1.教材母题(人教A选修二P10阅读与思考)斐波那契数列的定义:若一个数列,首两项等于1,而从第三项起,每一项是之前两项之和,则称该数列为斐波那契数列.例:1,1,2,3,5,8,13,……

2.斐波那契数列的递推公式

F1=F2=1,Fn-2+Fn-1=Fn(n≥3,n∈N*)

3.斐波那契数列的通项公式

an=151+52n-1-52n

4.斐波那契数列的性质

(1)F12+F22+…+Fn2=Fn×Fn+1;

(2)a1+a3+a5+…+a2n-1=a2n;

(3)a2+a4+a6+…+a2n=a2n+1-1;

(4)a1+a2+a3+a4+…+an=Sn=an+2-1.

(Sn为斐波那契数列的前n项和)

典例(多选)若数列{an}满足a1=a2=1,an=an-1+an-2(n≥3,n∈N*),则称该数列为斐波那契数列.如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线.图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成,在每个正方形中作圆心角为90°的扇形,连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”.记以an为边长的正方形中的扇形面积为bn,数列{bn}的前n项和为Sn.下列结论正确的是()



A.a9=34

B.a2026是奇数

C.a2+a4+a6+…+a2026=a2027

D.S2025a2025·a2026=π4

答案ABD

解析该数列为1,1,2,3,5,8,13,21,34,…,所以a9=34,A正确;

由斐波那契数列得每三个数中,前两个为奇数,后一个为偶数,

且2026=3×675+1,

所以a2026是奇数,B正确;

由an-1=an-an-2,得a2=a3-a1,a4=a5-a3,…,a2026=a2027-a2025,

累加得a2+a4+…+a2026=a2027-a1,C错误;

由an=an-1+an-2(n≥3),得a12+a22+a32+…+a20252

=a1a2+a22+a32+…+a20252

=a2(a1+a2)+a32+…+a20252

=a2a3+a32+…+a20252

=a3(a2+a3)+…+a20252=a3a4+…+a20252=…=a2025a2026,

所以S2025=π4(a12+a22+a32+…+a20252)

=π4a2025a2026,

所以S2025a2025a2026=π4,D正确.

角度2数列的单调性

例5(多选)(2025·武汉调研)已知数列{an}满足a1=1,an+1an=an+1an,则下列说法正确的是()

A.an+1≥2an

B.an+1an是递增数列

C.{an+1-4an}是递增数列

D.an≥n2-2n+2

答案ABD

解析对于A,法一由an+1an=an+1an,

得an+1=an2+1≥1.

又a1=1,所以an≥1,

所以an+1an=an+1an≥2an·1an=2,

所以an+1≥2an,当且仅当an=1an,

即an=1时取等号,故A正确.

法二由于an+1an=an+1an,

所以an+1=an2+1,

所以an+1-2an=an2+1-2an=(an-1)2≥0,

所以an+1≥2an,故A正确.

对于B,由于an+1≥2an,得an+1>an,

所以{an}为递增数列,

由a1=1,y=x+1x在[1,+∞)上单调递增,可得an+1an为递增数列,故B正确.

对于C,由an+1=an2+1,a1=1,

得a2=2,a3=5,

所以a2-4a1=-2,a3-4a2=-3,

所以数列{an+1-4an}不是递增数列,故C错误.

对于D,因为an≥1,

所以an+1-an2=1≤an+1-an,

所以an+1=(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1≥n+1,

所以an≥n,所以an+1=an2+1≥n2+1,

则an≥(n-1)2+1=n2-2n+2,故D正确.

角度3数列的最值

例6(2025·湘东九校联考)设Tn为数列{an}的前n项积,若an+2an+1=0,n∈N*,且a3-a4=-96,当Tn取得最大值时,n=()

A.6B.8

C.9D.10

答案B

解析由题易知an≠0.

∵an+2an+1=0,∴an+1an=-12,

故{an}是公比为-12的等比数列.

∵a3-a4=-96,∴14a1--18a1=-96,

故a1=-256,

∴an=-256×-12n-1,

∴Tn=(-256)n×-120+1+2+3+…+(n-1)

=(-1)n12-8n-12n(n-1)2

=(-1)n2+n2·12n2-17n2,

要使Tn取得最大值,则n2+n2为偶数,

且n2-17n2取最小值,

由二次函数知识知,当n=8或n=9时,

n2-17n2取最小值,但只有n=8时,使得n2+n2为偶数,符合要求.

思维建模1.解决数列单调性问题的三种方法

(1)用作差比较法,根据an+1-an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或常数列.

(2)用作商比较法,根据an+1an(an>0或anan+1,且对任意n∈{n|n≥7,n∈N}都有an0.

?n∈{1,2,3},an>an+1?12λ>72?λ115,

∴1150,且数列{an}单调递减;

当1≤n≤10时,22n-211,

故an的最大值为a5=3,最小值为a4=-1,

∴an的最大值与最小值之和为2.

8.(2025·福州调研)数列{an}满足a1=8,an+1=annan+1(n∈N*),bn=1an+λ·12n,若数列{bn}是递减数列,则实数λ的取值范围是()

A.-87,+∞B.-78,+∞

C.87,+∞D.78,+∞

答案D

解析an+1=annan+1两边取倒数得1an+1=nan+1an=1an+n,

所以1a2-1a1=1,1a3-1a2=2,…,1an-1an-1=n-1,

由累加法可得1an-1a1=1+2+…+(n-1)=n(n-1)2,

因为a1=8,所以1an=n(n-1)2+18=(2n-1)28,
    

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