课标要求 1.了解集合的含义,理解元素与集合的关系.2.理解集合间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义,会求两个简单集合的并集、交集与补集.4.能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算.



【知识梳理】

1.元素与集合

(1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性.

(2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为∈和?.

(3)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法.

(4)常用数集及记法

名称

自然

数集

正整数集

整数集

有理

数集

实数集

记法

N

N*或N+

Z

Q

R

2.集合间的基本关系

(1)子集:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集.记作A?B(或B?A).

(2)真子集:如果集合A?B,但存在元素x∈B,且x?A,就称集合A是集合B的真子集,记作A?B(或B?A).

(3)相等:若A?B,且B?A,则A=B.

(4)空集的性质:?是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.

3.集合的基本运算



集合的并集

集合的交集

集合的补集

符号

表示

A∪B

A∩B

若全集为U,则集合A的补集为?UA

图形

表示







集合

表示

{x|x∈A,或x∈B}

{x|x∈A,且x∈B}

{x|x∈U,且x?A}

4.集合的运算性质

(1)A∩A=A,A∩?=?,A∩B=B∩A.

(2)A∪A=A,A∪?=A,A∪B=B∪A.

(3)A∩(?UA)=?,A∪(?UA)=U,?U(?UA)=A.

[常用结论与微点提醒]

1.若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个,非空子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个.

2.A?B?A∩B=A?A∪B=B??UA??UB.

3.U(A∩B)=(?UA)∪(?UB),?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).

【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)任何一个集合都至少有两个子集.( )

(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.( )

(3)若1∈{x2,x},则x=-1或1.( )

(4)对于任意两个集合A,B,(A∩B)?(A∪B)恒成立.( )

答案 (1)× (2)× (3)× (4)√

解析 (1)错误.空集只有一个子集.

(2)错误.{x|y=x2+1}=R,{y|y=x2+1}=[1,+∞),{(x,y)|y=x2+1}是抛物线y=x2+1上的点集.

(3)错误.当x=1时,不满足集合中元素的互异性.

2.(人教B必修一P9练习BT4改编)已知集合A={x-2,x+5,12},且-3∈A,则x=.

答案-1或-8

解析若x-2=-3,得x=-1,符合题意,

若x+5=-3,得x=-8,符合题意,

故x=-1或-8.

3.(人教A必修一P13T1改编)已知U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7},则A∩(?UB)=.

答案 {2,4}

解析易知?UB={2,4,6},故A∩(?UB)={2,4}.

4.(苏教必修一P23T14改编)已知集合A={x|0-2时,

要使B?A,则需m?1≥?2,2m+1≤5,

解得-1≤m≤2.

综上所述,m的取值范围是{m|m≤-2或-1≤m≤2}.

考点三集合的运算

例3(1)(2024·北京卷)已知集合M={x|-3-3}

C.{x|-30},B={x|log2(x-1)0,解得x3,

所以A={x|x3},

?UA={x|0≤x≤3}.

由log2(x-1)1},B={x|x1},B={x|x1},定义集合A-B={x|x∈A且x?B},则A-B=.

答案x?13≤x≤1

解析由3x2-8x-3≤0得-13≤x≤3,

则A=x?13≤x≤3,

又A-B={x|x∈A且x?B},

则A-B=x?13≤x≤1.



1.教材母题(人教A必修一P35T11)学校举办运动会时,高一(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人?

2.上述问题的解决方法被称为容斥原理,在人教A必修一P15《阅读与思考》中有详细阐释,总结如下:

(1)二元容斥原理:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B);

(2)三元容斥原理:card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(C∩A)-card(B∩C)+card(A∩B∩C).

典例(2024·吉林四校联考)某学校教师中,会打乒乓球的教师人数为30,会打羽毛球的教师人数为60,会打篮球的教师人数为20,若至少会其中一个体育项目的教师人数为80,且三个体育项目都会的教师人数为5,则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为.

答案 20

解析设A={x|x是会打乒乓球的教师人数},

B={x|x是会打羽毛球的教师人数},

C={x|x是会打篮球的教师人数}.

根据题意得card(A)=30,card(B)=60,card(C)=20,card(A∪B∪C)=80,card(A∩B∩C)=5,

根据三元容斥原理得card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C),

有card(A∩B)+card(B∩C)+card(C∩A)=35,

而card(A∩B)+card(B∩C)+card(C∩A)中把A∩B∩C的区域计算了3次,

故要减掉这3次,才能得到会且仅会其中两个体育项目的教师人数.

因此会且仅会其中两个体育项目的教师人数为35-3×5=20.



一、单选题

1.(2025·1月八省联考)已知集合A={-1,0,1},B={0,1,4},则A∩B=( )

A.{0}B.{1}

C.{0,1}D.{-1,0,1,4}

答案 C

解析由A={-1,0,1},B={0,1,4},

易得A∩B={0,1}.

2.(2024·郑州二模)已知全集U={x|-12},

所以A∩?UB={x|-3a},若A∩(?RB)=A,则实数a的取值范围为( )

A.[0,1]B.[0,1)

C.(0,1)D.(-∞,0]∪[1,+∞)

答案 A

解析由A∩(?RB)=A,得A?(?RB),

所以a2≤a,得0≤a≤1,故选A.

8.(2025·西安质检)某校高一年级有1200人,现有两种课外实践活动供学生选择,要求每个同学至少选择一种参加.统计调...