第2节与球有关的切、接问题

题型分析研究与球有关的切、接问题,既要运用多面体、旋转体的知识,又要运用球的几何性质,要特别注意多面体、旋转体的有关几何元素与球的半径之间的关系,解决此类问题的关键是确定球心.

题型一外接球

角度1定义法

例1(2025·合肥调研)在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=2,AB=22,AC=4,∠BAC=45°,则三棱锥P-ABC外接球的表面积是()

A.14πB.16π

C.18πD.20π

答案D

解析在△BAC中,∠BAC=45°,AB=22,AC=4,

由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos45°=8+16-2×4×22×22=8,

则BC2+AB2=AC2,所以BC⊥AB,

由PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,得PA⊥BC,

又PA∩AB=A,PA,AB?平面PAB,

所以BC⊥平面PAB,

所以BC⊥PB,

所以△PBC为直角三角形,

又△PAC为直角三角形,

所以PC是三棱锥P-ABC外接球直径,

设O是PC的中点,即为球心,



又AC=4,PA=2,

所以PC=AC2+PA2=42+22=25,

所以外接球半径为5,

所以所求外接球的表面积S=4π×(5)2=20π.

角度2补形法

例2(1)在三棱锥A-BCD中,侧棱AB,AC,AD两两垂直,△ABC,△ACD,△ADB的面积分别为22,32,62,则三棱锥A-BCD的外接球的体积为.

答案6π

解析在三棱锥A-BCD中,侧棱AB,AC,AD两两垂直,

则AB,AC,AD可看作长方体的一个顶点发出的三条棱,

所以过空间四个点A,B,C,D的球面即为棱长分别为a,b,c的长方体的外接球,则ab=6,ac=3,bc=2,

解得a=3,b=2,c=1,

所以球的直径为(3)2+(2)2+1=6,

它的半径为62,球的体积为4π3×623=6π.

(2)已知平行四边形ABCD中,AB=3,BC=4,∠ABC=60°.若沿对角线AC将△ABC折起到△B′AC的位置,使得B′D=13,则此时三棱锥B′-ACD的外接球的体积大小是.

答案19196π

解析如图,由已知可得,



AC=16+9-2×4×3×12=13,

在四面体B′-ACD中,AB′=CD=3,

B′C=AD=4,AC=B′D=13,

所以可以把它们看成长方体的面对角线,

设长方体的同一顶点三条棱长分别为a,b,c,

且满足a2+b2=32,a2+c2=(13)2,b2+c2=42,

可得a2+b2+c2=12(9+16+13)=19,

三棱锥外接球的半径为192,

则外接球的体积为4π3×1923=19196π.

(3)(2025·湘豫名校联考)已知三棱锥P-ABC中,PB⊥平面ABC,PB=23,AC=6,∠ABC=120°,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为.

答案60π

解析由题意,将三棱锥P-ABC补成直三棱柱TPS-ABC,



则该直棱柱的外接球即为三棱锥P-ABC的外接球,

且直三棱柱的外接球球心落在上、下底面外接圆圆心连线的中点上.

设△ABC外接圆的半径为r,三棱锥P-ABC外接球的半径为R,

因为PB⊥平面ABC,

PB=23,AC=6,∠ABC=120°,

由正弦定理得,2r=6sin120°=43,

所以r=23.

则R2=r2+PB22=12+3=15.

故三棱锥P-ABC外接球的表面积为S=4πR2=60π.

思维建模1.正方体与球的切、接常用结论(正方体的棱长为a,球的半径为R)

(1)若球为正方体的外接球,则2R=3a;

(2)若球为正方体的内切球,则2R=a;

(3)若球与正方体的各棱相切,则2R=2a.

2.若长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=a2+b2+c2.

3.正四面体的外接球的半径R=64a(a为该正四面体的棱长).

4.补形法的解题策略

(1)侧面为直角三角形,或正四面体,或对棱均相等的模型,可以还原到正方体或长方体中去求解;

(2)有一条侧棱与底面垂直的棱锥补成直棱柱求解.

角度3借助三角形外心确定球心位置

例3(2025·湖州模拟)在三棱锥P-ABC中,△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,△PAC是边长为2的正三角形,二面角P-AC-B的大小为150°,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为()

A.28π3B.52π9

C.2821π27D.5213π81

答案A

解析如图,取AC的中点H,连接BH,PH,



由题意,AB=BC

=22AC=2,

PA=PC=2,

所以BH⊥AC,PH⊥AC,

又PH?平面PAC,BH?平面ABC,

平面PAC∩平面ABC=AC,

所以∠BHP为二面角P-AC-B的平面角,

所以∠BHP=150°.

因为△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,且AC=2,

所以AH=BH=CH=1,H为△ABC外接圆的圆心,

又△PAC是边长为2的等边三角形,

所以HP=3,

过点H作与平面ABC垂直的直线,则球心O在该直线上.

设球的半径为R,连接OB,OP,

可得OH2=OB2-BH2=R2-1,

在△OPH中,∠OHP=60°,利用余弦定理可得OP2=OH2+HP2-2OH·HP·cos60°,

所以R2=R2-1+3-2R2-1×3×12,

解得R2=73,

所以三棱锥P-ABC外接球的表面积为4πR2=28π3.

思维建模先过棱锥某个面(一般选取直角三角形、正三角形、矩形等)的外接圆圆心作该面的垂线,则球心一定在该垂线上,再根据球心到棱锥各个顶点的距离相等,结合勾股定理构建等式,确定球心及半径,这是解决此类问题的常规思路.

训练1(1)(2025·安徽皖江名校联考)在△ABC中,BC=6,AB+AC=8,E,F,G分别为三边BC,CA,AB的中点,将△AFG,△BEG,△CEF分别沿FG,EG,EF向上折起,使得A,B,C三点重合,记为点P,则三棱锥P-EFG的外接球表面积的最小值为()

A.15π2B.17π2

C.19π2D.21π2

答案B

解析设AB=2m,AC=2n,则m+n=4.

因为在三棱锥P-EFG中,FG=PE=3,EF=PG=m,EG=PF=n,

所以可以把它们看成长方体的面对角线,

设长方体的同一顶点三条棱长分别为x,y,z,如图,



则有x2+y2=32,y2+z2=m2,z2+x2=n2,

设长方体外接球的半径为R,

所以(2R)2=x2+y2+z2=12(9+m2+n2),

由基本不等式m2+n2≥(m+n)22=8,

当且仅当m=n=2时等号成立,

所以该三棱锥P-EFG的外接球表面积S=4πR2≥12×(9+8)π=17π2.

(2)已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上,PA=PB=PC=AB...