第2节 排列与组合（2026版创新设计高考数学总复习配套word文档教师版） 人教版
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第2节排列与组合
课标要求1.理解排列、组合的概念;能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.2.能解决简单的实际问题.
【知识梳理】
1.排列与组合的概念
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列
组合
作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
2.排列数与组合数
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号Anm表示.
(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号Cnm表示.
3.排列数、组合数的公式及性质
公式
(1)Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=n!(n-m)!
(2)Cnm=AnmAmm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)m!
=n!m!(n-m)!(n,m∈N*,且m≤n).特别地Cn0=1
性质
(1)0!=1;Ann=n!
(2)Cnm=Cnn-m;Cnr=Cn-1r-1+Cn-1r
[常用结论与微点提醒]
1.排列数、组合数常用公式
(1)Anm=(n-m+1)Anm-1.
(2)Anm=nAn-1m-1.
(3)(n+1)!-n!=n·n!.
(4)kCnk=nCn-1k-1.
(5)Cnm+Cn-1m+…+Cm+1m+Cmm=Cn+1m+1.
2.解决排列、组合问题的十种技巧
(1)特殊元素优先安排.
(2)合理分类与准确分步.
(3)排列、组合混合问题要先选后排.
(4)相邻问题捆绑处理.
(5)不相邻问题插空处理.
(6)定序问题倍缩法处理.
(7)分排问题直排处理.
(8)“小集团”排列问题先整体后局部.
(9)构造模型.
(10)正难则反,等价转化.
【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.()
(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.()
(3)若组合式Cnx=Cnm,则x=m成立.()
(4)(n+1)!-n!=n·n!.()
(5)kCnk=nCn-1k-1.()
答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√
解析(1)元素相同但顺序不同的排列是不同的排列,故错误;
(2)一个组合中取出的元素不讲究顺序,元素相同即为同一组合,故错误;
(3)若Cnx=Cnm,则x=m或n-m,故错误.
2.(苏教选修二P69T4原题)下列各式中,不等于n!的是()
A.AnnB.1n+1An+1n+1
C.An+1nD.nAn-1n-1
答案C
解析An+1n=(n+1)n(n-1)…3·2=(n+1)!,其他选项可化简为n!.
3.(人教A选修三P37T1(3)改编)安排6名歌手演出排序时,要求某歌手不是第一个出场,也不是最后一个出场,则不同排法的种数是()
A.120B.240
C.480D.720
答案C
解析先考虑某歌手的位置,不是第一个出场,也不是最后一个出场,则该歌手有4种位置可以选,共有C41=4种结果,剩下5人在5个不同位置,共有A55=120种结果,
所以不同安排方法有C41A55=4×120=480(种).
4.(人教B选修二P22练习BT1(1)改编)C73+C74+C85+C96+C107=.
答案330
解析C73+C74+C85+C96+C107
=C84+C85+C96+C107
=C95+C96+C107=C106+C107=C117
=C114=11×10×9×84×3×2×1=330.
考点一排列问题
例1有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法数.
(1)选5人排成一排;
(2)排成前后两排,前排3人,后排4人;
(3)全体排成一排,其中甲不站最左边,也不站最右边;
(4)全体排成一排,其中甲不站最左边,乙不站最右边;
(5)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定.
解(1)从7人中选5人排列,有
A75=7×6×5×4×3=2520(种).
(2)法一分两步完成,先选3人站前排,有A73种方法,余下4人站后排,有A44种方法,共有A73·A44=5040(种).
法二(直排法)先将所有人全排列有A77种,
此时可以取前3人站前排,后4人站后排即可,
故方法数即为A77=5040种.
(3)法一(特殊元素优先法)先排甲,有5种方法,其余6人有A66种排列方法,共有
5×A66=3600(种).
法二(特殊位置优先法)左右两边位置可安排另6人中的两人,有A62种排法,其他有A55种排法,共有A62A55=3600(种).
(4)法一(特殊元素优先法)甲在最右边时,其他的可全排,有A66种方法;甲不在最右边时,可从余下的5个位置任选一个,有A51种,而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有A51种,其余人全排列,有A55种不同排法,共有A66+A51A51A55=3720(种).
法二(间接法)7名学生全排列,有A77种方法,其中甲在最左边时,有A66种方法,乙在最右边时,有A66种方法,其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形,有A55种方法,故共有
A77-2A66+A55=3720(种).
(5)由于甲、乙、丙的顺序一定,则满足条件的站法共有A77A33=840(种).
思维建模排列应用问题的分类与解法
对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法.
训练1(1)(2025·深圳调研)已知某六名同学在CMO竞赛中获得前六名(无并列情况),其中甲或乙是第一名,丙不是前三名,则这六名同学获得的名次情况可能有()
A.72种B.96种
C.144种D.288种
答案C
解析法一(特殊优先法)由题可得,第一名在甲和乙中二选一,有A21种情况,
丙是第四或第五或第六名,有A31种情况,
其他同学随机排列,所以由分步乘法计数原理可知,满足条件的不同的名次情况可能有A21A31A44=144种.
法二(间接法)在甲或乙是第一名的情况下(有A21种方法),除去丙在前三名的情形,方法数有A21A55-A21A21A44=144(种).
(2)(2025·成都诊断)某停车场有两排空车位,每排4个,现有甲、乙、丙、丁4辆车需要泊车,若每排都有...
课标要求1.理解排列、组合的概念;能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.2.能解决简单的实际问题.
【知识梳理】
1.排列与组合的概念
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列
组合
作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
2.排列数与组合数
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号Anm表示.
(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号Cnm表示.
3.排列数、组合数的公式及性质
公式
(1)Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=n!(n-m)!
(2)Cnm=AnmAmm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)m!
=n!m!(n-m)!(n,m∈N*,且m≤n).特别地Cn0=1
性质
(1)0!=1;Ann=n!
(2)Cnm=Cnn-m;Cnr=Cn-1r-1+Cn-1r
[常用结论与微点提醒]
1.排列数、组合数常用公式
(1)Anm=(n-m+1)Anm-1.
(2)Anm=nAn-1m-1.
(3)(n+1)!-n!=n·n!.
(4)kCnk=nCn-1k-1.
(5)Cnm+Cn-1m+…+Cm+1m+Cmm=Cn+1m+1.
2.解决排列、组合问题的十种技巧
(1)特殊元素优先安排.
(2)合理分类与准确分步.
(3)排列、组合混合问题要先选后排.
(4)相邻问题捆绑处理.
(5)不相邻问题插空处理.
(6)定序问题倍缩法处理.
(7)分排问题直排处理.
(8)“小集团”排列问题先整体后局部.
(9)构造模型.
(10)正难则反,等价转化.
【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.()
(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.()
(3)若组合式Cnx=Cnm,则x=m成立.()
(4)(n+1)!-n!=n·n!.()
(5)kCnk=nCn-1k-1.()
答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√
解析(1)元素相同但顺序不同的排列是不同的排列,故错误;
(2)一个组合中取出的元素不讲究顺序,元素相同即为同一组合,故错误;
(3)若Cnx=Cnm,则x=m或n-m,故错误.
2.(苏教选修二P69T4原题)下列各式中,不等于n!的是()
A.AnnB.1n+1An+1n+1
C.An+1nD.nAn-1n-1
答案C
解析An+1n=(n+1)n(n-1)…3·2=(n+1)!,其他选项可化简为n!.
3.(人教A选修三P37T1(3)改编)安排6名歌手演出排序时,要求某歌手不是第一个出场,也不是最后一个出场,则不同排法的种数是()
A.120B.240
C.480D.720
答案C
解析先考虑某歌手的位置,不是第一个出场,也不是最后一个出场,则该歌手有4种位置可以选,共有C41=4种结果,剩下5人在5个不同位置,共有A55=120种结果,
所以不同安排方法有C41A55=4×120=480(种).
4.(人教B选修二P22练习BT1(1)改编)C73+C74+C85+C96+C107=.
答案330
解析C73+C74+C85+C96+C107
=C84+C85+C96+C107
=C95+C96+C107=C106+C107=C117
=C114=11×10×9×84×3×2×1=330.
考点一排列问题
例1有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法数.
(1)选5人排成一排;
(2)排成前后两排,前排3人,后排4人;
(3)全体排成一排,其中甲不站最左边,也不站最右边;
(4)全体排成一排,其中甲不站最左边,乙不站最右边;
(5)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定.
解(1)从7人中选5人排列,有
A75=7×6×5×4×3=2520(种).
(2)法一分两步完成,先选3人站前排,有A73种方法,余下4人站后排,有A44种方法,共有A73·A44=5040(种).
法二(直排法)先将所有人全排列有A77种,
此时可以取前3人站前排,后4人站后排即可,
故方法数即为A77=5040种.
(3)法一(特殊元素优先法)先排甲,有5种方法,其余6人有A66种排列方法,共有
5×A66=3600(种).
法二(特殊位置优先法)左右两边位置可安排另6人中的两人,有A62种排法,其他有A55种排法,共有A62A55=3600(种).
(4)法一(特殊元素优先法)甲在最右边时,其他的可全排,有A66种方法;甲不在最右边时,可从余下的5个位置任选一个,有A51种,而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有A51种,其余人全排列,有A55种不同排法,共有A66+A51A51A55=3720(种).
法二(间接法)7名学生全排列,有A77种方法,其中甲在最左边时,有A66种方法,乙在最右边时,有A66种方法,其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形,有A55种方法,故共有
A77-2A66+A55=3720(种).
(5)由于甲、乙、丙的顺序一定,则满足条件的站法共有A77A33=840(种).
思维建模排列应用问题的分类与解法
对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法.
训练1(1)(2025·深圳调研)已知某六名同学在CMO竞赛中获得前六名(无并列情况),其中甲或乙是第一名,丙不是前三名,则这六名同学获得的名次情况可能有()
A.72种B.96种
C.144种D.288种
答案C
解析法一(特殊优先法)由题可得,第一名在甲和乙中二选一,有A21种情况,
丙是第四或第五或第六名,有A31种情况,
其他同学随机排列,所以由分步乘法计数原理可知,满足条件的不同的名次情况可能有A21A31A44=144种.
法二(间接法)在甲或乙是第一名的情况下(有A21种方法),除去丙在前三名的情形,方法数有A21A55-A21A21A44=144(种).
(2)(2025·成都诊断)某停车场有两排空车位,每排4个,现有甲、乙、丙、丁4辆车需要泊车,若每排都有...
