第2节 用样本估计总体（2026版创新设计高考数学总复习配套word文档教师版） 人教版
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第2节用样本估计总体
课标要求1.会用统计图表对总体进行估计,会求n个数据的第p百分位数.2.会用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度.
【知识梳理】
1.百分位数
一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.
2.众数、中位数、平均数
(1)众数:一组数据中出现次数最多的那个数据,叫做这组数据的众数.
(2)中位数:把n个数据按大小顺序排列,处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.
(3)平均数:把a1+a2+…+ann称为a1,a2,…,an这n个数的平均数.
3.标准差与方差
设一组数据x1,x2,x3,…,xn的平均数为x,则这组数据的标准差和方差分别是s=1n[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2],
s2=1n[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2].
4.总体(样本)方差和总体(样本)标准差
(1)一般式:如果总体中所有个体的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,总体平均数为Y,则总体方差S2=
1NN∑i=1(Yi-Y)2.
(2)加权式:如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频数为fi(i=1,2,…,k),则总体方差为S2=1Nk∑i=1fi(Yi-Y)2.
[常用结论与微点提醒]
1.若x1,x2,…,xn的平均数为x,那么mx1+a,mx2+a,…,mxn+a的平均数为mx+a.
2.数据x1,x2,…,xn与数据x1'=x1+a,x2'=x2+a,…,xn'=xn+a的方差相等,即数据经过平移后方差不变.
3.若x1,x2,…,xn的方差为s2,那么ax1+b,ax2+b,…,axn+b的方差为a2s2.
【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平均数、众数与中位数从不同角度描述了一组数据的集中趋势.()
(2)一组数据的中位数必为其中一个数.()
(3)方差越大,数据越集中.()
(4)如果一组数中每个数减去同一个非零常数,则这组数的平均数改变,方差不变.()
答案(1)√(2)×(3)×(4)√
解析(2)中位数也可能是中间两个数的平均数.
(3)中方差越大,数据越分散,方差越小,数据越集中.
2.(人教A必修二P181T1原题)为了合理调配电力资源,某市欲了解全市50000户居民的日用电量.若通过简单随机抽样从中抽取了300户进行调查,得到其日用电量的平均数为5.5kW·h,则可以推测全市居民用户日用电量的平均数()
A.一定为5.5kW·hB.高于5.5kW·h
C.低于5.5kW·hD.约为5.5kW·h
答案D
解析由样本的数字特征与总体的数字特征的关系,可知全市居民用户日用电量的平均数约为5.5kW·h.
3.(北师大必修一P170例3改编)为了判断甲、乙两名同学本学期几次数学考试成绩哪个较稳定,通常需要知道这两人的()
A.平均数B.众数
C.方差D.频率分布
答案C
解析方差刻画一组数据的集中程度或稳定性.
4.(苏教必修二P257T1改编)已知一组数据1,3,2,5,4,则这组数据的标准差为,25%分位数为.
答案22
解析由题意得x=15(1+3+2+5+4)=3,
s2=15[(1-3)2+(3-3)2+(2-3)2+(5-3)2+(4-3)2]=2,
∴s=2,数据排序为:1,2,3,4,5,
由5×25%=1.25得25%分位数为第2个数据2.
考点一总体百分位数的估计
例1(1)(2025·河北名校联考)养鸡是农业养殖的一个重要组成部分,随着人们对健康饮食的重视和市场对禽肉需求的增长,养鸡业发展迅速.如图为某小型养鸡场2018~2024年每年养鸡数量(单位:百只)的统计图:
则该养鸡场这7年养鸡数量的第60百分位数是()
A.45B.60
C.80D.85
答案C
解析将样本数据从小到大排列为44,45,60,60,80,85,110.
因为7×60%=4.2,
所以第60百分位数是第5个数,即80.
(2)将高三某班60名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩(成绩均为整数)整理后画出频率分布直方图如图,则此班的模拟考试成绩的80%分位数是.(结果保留两位小数)
答案124.44
解析由频率分布直方图可知,
分数在120分以下的学生所占的比例为(0.01+0.015+0.015+0.03)×10×100%=70%,
分数在130分以下的学生所占的比例为(0.01+0.015+0.015+0.03+0.0225)×10×100%=92.5%,
因此,80%分位数一定位于[120,130)内.
因为120+0.80-0.700.925-0.70×10≈124.44,
所以此班的模拟考试成绩的80%分位数约为124.44.
思维建模1.计算一组数据的第p百分位数的步骤
2.直方图中可运用面积和求第p百分位数或按下列方法计算:
(1)确定百分位数所在的区间[a,b).
(2)确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为fa%,fb%,则第p百分位数为a+p%-fa%fb%-fa%×(b-a).
训练1(1)(2025·郑州质检)数据6.0,7.4,8.0,8.4,8.6,8.7,8.9,9.1的第75百分位数为()
A.8.5B.8.6
C.8.7D.8.8
答案D
解析因为8×0.75=6,
所以第75百分位数为8.7+8.92=8.8.
(2)(2025·广州调研)某组样本数据的频率分布直方图如图所示,设该组样本数据的众数、平均数、第一四分位数分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是(注:同一组中数据用该组区间中点值近似代替)()
A.x30.5,
所以100块稻田亩产量的中位数所在的区间为[1050,1100),故A不正确;
对于B,100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例为6+12+18+30100×100%=66%,故B不正确;
对于C,因为1200-900=300,1150-950=200,所以100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间,故C正确;
对于D,100块稻田亩产量的平均值为1100×(925×6+975×12+1025×18+1075×30+1125×24+1175×10)=1067(kg),故D不正确.
(2)(2025·南通调研)一组样本数据删除一个数后,得到一组新数据:10,21,25,35,36,40.若这两组数据的中位数相等,则删除的数为()
A.25B.30
C.35D.40
答案B
解析新数据的中位数为25+352=30.
若删除...
课标要求1.会用统计图表对总体进行估计,会求n个数据的第p百分位数.2.会用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度.
【知识梳理】
1.百分位数
一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.
2.众数、中位数、平均数
(1)众数:一组数据中出现次数最多的那个数据,叫做这组数据的众数.
(2)中位数:把n个数据按大小顺序排列,处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.
(3)平均数:把a1+a2+…+ann称为a1,a2,…,an这n个数的平均数.
3.标准差与方差
设一组数据x1,x2,x3,…,xn的平均数为x,则这组数据的标准差和方差分别是s=1n[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2],
s2=1n[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2].
4.总体(样本)方差和总体(样本)标准差
(1)一般式:如果总体中所有个体的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,总体平均数为Y,则总体方差S2=
1NN∑i=1(Yi-Y)2.
(2)加权式:如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频数为fi(i=1,2,…,k),则总体方差为S2=1Nk∑i=1fi(Yi-Y)2.
[常用结论与微点提醒]
1.若x1,x2,…,xn的平均数为x,那么mx1+a,mx2+a,…,mxn+a的平均数为mx+a.
2.数据x1,x2,…,xn与数据x1'=x1+a,x2'=x2+a,…,xn'=xn+a的方差相等,即数据经过平移后方差不变.
3.若x1,x2,…,xn的方差为s2,那么ax1+b,ax2+b,…,axn+b的方差为a2s2.
【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平均数、众数与中位数从不同角度描述了一组数据的集中趋势.()
(2)一组数据的中位数必为其中一个数.()
(3)方差越大,数据越集中.()
(4)如果一组数中每个数减去同一个非零常数,则这组数的平均数改变,方差不变.()
答案(1)√(2)×(3)×(4)√
解析(2)中位数也可能是中间两个数的平均数.
(3)中方差越大,数据越分散,方差越小,数据越集中.
2.(人教A必修二P181T1原题)为了合理调配电力资源,某市欲了解全市50000户居民的日用电量.若通过简单随机抽样从中抽取了300户进行调查,得到其日用电量的平均数为5.5kW·h,则可以推测全市居民用户日用电量的平均数()
A.一定为5.5kW·hB.高于5.5kW·h
C.低于5.5kW·hD.约为5.5kW·h
答案D
解析由样本的数字特征与总体的数字特征的关系,可知全市居民用户日用电量的平均数约为5.5kW·h.
3.(北师大必修一P170例3改编)为了判断甲、乙两名同学本学期几次数学考试成绩哪个较稳定,通常需要知道这两人的()
A.平均数B.众数
C.方差D.频率分布
答案C
解析方差刻画一组数据的集中程度或稳定性.
4.(苏教必修二P257T1改编)已知一组数据1,3,2,5,4,则这组数据的标准差为,25%分位数为.
答案22
解析由题意得x=15(1+3+2+5+4)=3,
s2=15[(1-3)2+(3-3)2+(2-3)2+(5-3)2+(4-3)2]=2,
∴s=2,数据排序为:1,2,3,4,5,
由5×25%=1.25得25%分位数为第2个数据2.
考点一总体百分位数的估计
例1(1)(2025·河北名校联考)养鸡是农业养殖的一个重要组成部分,随着人们对健康饮食的重视和市场对禽肉需求的增长,养鸡业发展迅速.如图为某小型养鸡场2018~2024年每年养鸡数量(单位:百只)的统计图:
则该养鸡场这7年养鸡数量的第60百分位数是()
A.45B.60
C.80D.85
答案C
解析将样本数据从小到大排列为44,45,60,60,80,85,110.
因为7×60%=4.2,
所以第60百分位数是第5个数,即80.
(2)将高三某班60名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩(成绩均为整数)整理后画出频率分布直方图如图,则此班的模拟考试成绩的80%分位数是.(结果保留两位小数)
答案124.44
解析由频率分布直方图可知,
分数在120分以下的学生所占的比例为(0.01+0.015+0.015+0.03)×10×100%=70%,
分数在130分以下的学生所占的比例为(0.01+0.015+0.015+0.03+0.0225)×10×100%=92.5%,
因此,80%分位数一定位于[120,130)内.
因为120+0.80-0.700.925-0.70×10≈124.44,
所以此班的模拟考试成绩的80%分位数约为124.44.
思维建模1.计算一组数据的第p百分位数的步骤
2.直方图中可运用面积和求第p百分位数或按下列方法计算:
(1)确定百分位数所在的区间[a,b).
(2)确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为fa%,fb%,则第p百分位数为a+p%-fa%fb%-fa%×(b-a).
训练1(1)(2025·郑州质检)数据6.0,7.4,8.0,8.4,8.6,8.7,8.9,9.1的第75百分位数为()
A.8.5B.8.6
C.8.7D.8.8
答案D
解析因为8×0.75=6,
所以第75百分位数为8.7+8.92=8.8.
(2)(2025·广州调研)某组样本数据的频率分布直方图如图所示,设该组样本数据的众数、平均数、第一四分位数分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是(注:同一组中数据用该组区间中点值近似代替)()
A.x30.5,
所以100块稻田亩产量的中位数所在的区间为[1050,1100),故A不正确;
对于B,100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例为6+12+18+30100×100%=66%,故B不正确;
对于C,因为1200-900=300,1150-950=200,所以100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间,故C正确;
对于D,100块稻田亩产量的平均值为1100×(925×6+975×12+1025×18+1075×30+1125×24+1175×10)=1067(kg),故D不正确.
(2)(2025·南通调研)一组样本数据删除一个数后,得到一组新数据:10,21,25,35,36,40.若这两组数据的中位数相等,则删除的数为()
A.25B.30
C.35D.40
答案B
解析新数据的中位数为25+352=30.
若删除...
