第2节 单调性与最大(小)值

课标要求1.借助函数图象,会用数学符号语言表达函数的单调性、最值,理解其实际意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.



【知识梳理】

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义



增函数

减函数

定义

一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D?I,如果?x1,x2∈D



当x1f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递减,特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数

图象

描述



自左向右看图象

是上升的







自左向右看图象

是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.

2.函数的最值

前提

设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足

条件

(1)?x∈I,都有f(x)≤M;

(2)?x0∈I,使得f(x0)=M

(1)?x∈I,都有f(x)≥M;

(2)?x0∈I,使得f(x0)=M

结论

M为最大值

M为最小值

[常用结论与微点提醒]

1.有关单调性的常用结论

在公共定义域内,增函数+增函数=增函数;减函数+减函数=减函数;增函数-减函数=增函数;减函数-增函数=减函数.

2.函数y=f(x)(f(x)≠0)在公共定义域内与y=-f(x),y=1f(x)的单调性相反.

【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)对于函数y=f(x),若f(1)0,则函数f(x)在区间D上是增函数.()

答案(1)×(2)×(3)×(4)√

解析(1)错误,应对任意的x12a,解得-1≤a0,x1-10时,f(x1)-f(x2)>0,

即f(x1)>f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递减;

当a0时,f'(x)0,函数f(x)在(-1,1)上单调递增.

思维建模1.求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间.

2.(1)函数单调性的判断方法:①定义法;②图象法;③利用已知函数的单调性;④导数法.

(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.

易错警示函数在两个不同的区间上单调性相同,一般要分开写,用“,”连接,不要用“∪”.

训练1(1)下列函数在R上为增函数的是()

A.y=x2B.y=x

C.y=-xD.y=1x

答案B

解析y=x2在(-∞,0]上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故A错误;

y=x在R上为增函数,故B正确;

y=-x在[0,+∞)上单调递减,故C错误;

y=1x在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递减,故D错误.

(2)(2025·西安模拟)已知函数f(x)=|x2-5x+6|,则函数f(x)的单调递增区间是()

A.-∞,52B.52,+∞

C.2,52和(3,+∞)D.(-∞,2)和52,3

答案C

解析因为函数y=x2-5x+6的图象的对称轴为直线x=52,

由x2-5x+6=0可得x=2或x=3,

作出函数f(x)=|x2-5x+6|的大致图象如图所示.



由图可知,函数f(x)的单调递增区间为2,52和(3,+∞).

考点二求函数的最值(值域)

例2(多选)下列函数中,值域正确的是()

A.当x∈[0,3)时,函数y=x2-2x+3的值域为[2,6)

B.函数y=2x+1x-3的值域为R

C.函数y=2x-x-1的值域为158,+∞

D.函数y=x+1+x-1的值域为[2,+∞)

答案ACD

解析对于A,y=x2-2x+3=(x-1)2+2,

由x∈[0,3),再结合函数的图象(如图①所示),可得函数的值域为[2,6).



对于B(分离常数法),

y=2x+1x-3=2(x-3)+7x-3=2+7x-3,

显然7x-3≠0,∴y≠2.

故函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞).

对于C(换元法),设t=x-1,

则x=t2+1,且t≥0,

∴y=2(t2+1)-t=2t-142+158,

由t≥0,再结合函数的图象(如图②所示),

可得函数的值域为158,+∞.

对于D,函数的定义域为[1,+∞),

∵y=x+1与y=x-1在[1,+∞)上均单调递增,

∴y=x+1+x-1在[1,+∞)上为增函数,

∴当x=1时,ymin=2,

即函数的值域为[2,+∞).

思维建模求函数值域(最值)的几种方法

(1)配方法:主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题.

(2)单调性法:利用函数的单调性,再根据所给定义域来确定函数的值域.

(3)数形结合法.

(4)换元法:引进一个(几个)新的量来代替原来的量,实行这种“变量代换”.

(5)分离常数法:分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法,把函数分离成一个常数和一个分式和的形式.

训练2(1)(2025·北京怀柔模拟)已知函数f(x)=4x22x2+1,则对任意实数x,函数f(x)的值域是()

A.(0,2)B.(0,2]

C.[0,2)D.[0,2]

答案C

解析法一依题意,f(x)=2(2x2+1)-22x2+1=2-22x2+1,

显然2x2+1≥1,则00,所以1+1t>1,0b.

设函数f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是.

答案1

解析法一(数形结合法)

在同一坐标系中,作函数f(x),g(x)的图象,

依题意,h(x)的图象为如图所示的实线部分.



易知点A(2,1)为图象的最高点,

因此h(x)的最大值为h(2)=1.

法二(单调性法)

依题意,h(x)=log2x,02.

当02时,h(x)=3-x是减函数,

因此h(x)在x=2时取得最大值h(2)=1.

考点三函数单调性的应用

角度1比较大小

例3已知f(x)=2x-1x-1,a=f(2),b=f(3),c=f(5),则()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.c>b>a

答案D

解析易知f(x)=2x-1x-1在(1,+∞)上单调递增,

又5>3>2>1,

故f(5)>f(3)>f(2),即c>b>a.

角度2解函数不等式

例4已知函数f(x)=lnx+2x,若f(x2-4)0,且a≠1,函数f(x)=3a-x,x2a,

解得-312;

当x∈-22,0时,0f(1)

C.f(m)≤f(1)D...