第2节 同角三角函数的基本关系及诱导公式（2026版创新设计高考数学总复习配套word文档教师版） 人教版
- 草料大小:312K
- 草料种类:试卷
- 种草时间:2025/6/23 15:13:00
- 小草编号：4610688
- 种 草 人:太阳花，欢迎分享资料。
- 采摘:1 片叶子 0 朵小花
- 版权声明:资料版权归原作者，如侵权请联系删除
- 论文写作：职称论文及课题论文写作（提供查重报告）
- 论文发表：淘宝交易，先发表再确认付款。
下载地址::（声明：本站为非盈利性网站。资料版权为原作者所有，如侵权请联系均无条件删除）
资料下载说明::请下完一个再下另外一个，谢谢！
文件简介::
第2节 同角三角函数的基本关系及诱导公式
课标要求1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,sinxcosx=tanx.2.能利用单位圆中的对称性推导出π2±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
【知识梳理】
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.
(2)商数关系:sinαcosα=tanαα≠π2+kπ,k∈Z.
2.三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+α(k∈Z)
π+α
-α
π-α
π2-α
π2+α
正弦
sinα
-sinα
-sinα
sinα
cosα
cosα
余弦
cosα
-cosα
cosα
-cosα
sinα
-sinα
正切
tanα
tanα
-tanα
-tanα
口诀
奇变偶不变,符号看象限
[常用结论与微点提醒]
1.同角三角函数关系式的常用变形
(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα;
sinα=tanα·cosα.
2.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.
3.在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号.
【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)若α,β为锐角,则sin2α+cos2β=1.()
(2)sin(π+α)=-sinα成立的条件是α为锐角.()
(3)若α∈R,则tanα=sinαcosα恒成立.()
(4)若sin(kπ-α)=13(k∈Z),则sinα=13.()
答案(1)×(2)×(3)×(4)×
解析(1)对任意的角α,sin2α+cos2α=1.
(2)中对于任意α∈R,恒有sin(π+α)=-sinα.
(3)中当α的终边落在y轴上时,商数关系不成立.
(4)当k为奇数时,sinα=13,
当k为偶数时,sinα=-13.
2.(湘教必修一P168例5改编)已知α是第三象限角,sinα=-35,则tanα=()
A.-34B.34
C.-43D.43
答案B
解析由题意得cosα=-45,
故tanα=sinαcosα=34.
3.(人教A必修一P195T5改编)已知sin7π2+α=35,那么cosα=()
A.-45B.-35
C.35D.45
答案B
解析因为sin7π2+α=-cosα=35,
所以cosα=-35.
4.(北师大必修二P24例8(3)改编)求值:sin5π6cos-π4+sin11π6cos5π4=.
答案22
解析sin5π6cos-π4+sin11π6cos5π4
=sin-π6+πcosπ4+sin-π6+2πcosπ4+π
=sinπ6cosπ4+-sinπ6-cosπ4
=2×12×22=22.
考点一同角三角函数基本关系式
角度1切弦互化
例1(1)(2025·济南质检)若2sinθ-cosθsinθ+2cosθ=12,则cosθ(1-2sin2θ)sinθ+cosθ=()
A.-425B.425
C.-325D.325
答案C
解析∵2sinθ-cosθsinθ+2cosθ=2tanθ-1tanθ+2=12,
∴tanθ=43,
则cosθ(1-2sin2θ)sinθ+cosθ=1-2sin2θtanθ+1
=1-2×sin2θsin2θ+cos2θtanθ+1=1-2×tan2θtan2θ+1tanθ+1
=1-tan2θ(tanθ+1)(tan2θ+1)=1-16943+1×169+1
=-325.
(2)(2023·全国乙卷)若θ∈0,π2,tanθ=12,则sinθ-cosθ=.
答案-55
解析由tanθ=sinθcosθ=12,sin2θ+cos2θ=1,且θ∈0,π2,
解得sinθ=55,cosθ=255,故sinθ-cosθ=-55.
思维建模同角三角函数关系式的应用方法
(1)利用sin2α+cos2α=1可实现角α的正弦、余弦的互化,利用sinαcosα=tanα可实现角α的弦切互化.
(2)当分式中分子与分母是关于sinα,cosα的齐次式时,往往转化为关于tanα的式子求解.
角度2“和”“积”转换
例2(多选)已知θ∈(0,π),sinθ+cosθ=15,则下列结论正确的是()
A.sinθ=45B.cosθ=-35
C.tanθ=-34D.sinθ-cosθ=75
答案ABD
解析由题意知sinθ+cosθ=15,
∴(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=125,
∴2sinθcosθ=-24250,
∴sinθ-cosθ=1-2sinθcosθ
=1--2425=4925=75,
∴sinθ=45,cosθ=-35.
∴tanθ=-43,∴A,B,D正确.
思维建模正弦、余弦“sinα±cosα,sinαcosα”的应用:
sinα±cosα与sinαcosα通过平方关系联系到一起,即(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,
sinαcosα=(sinα+cosα)2-12,sinαcosα=1-(sinα-cosα)22.
训练1(1)已知x∈-π2,0,sin4x+cos4x=12,则sinx-cosx=()
A.2B.-2
C.22D.-22
答案B
解析因为sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x=1-2sin2xcos2x=12,
所以sin2xcos2x=14,
又x∈-π2,0,
所以sinx0,sinx-cosx0,
所以tan2θ-tanθ-1=0,得tanθ=5+12.
考点二诱导公式
例3(1)已知cosπ6-θ=a(|a|≤1),则cos5π6+θ+sin2π3-θ=.
答案0
解析由题知cos5π6+θ=cosπ-π6-θ
=-cosπ6-θ=-a,
sin2π3-θ=sinπ2+π6-θ
=cosπ6-θ=a,
∴cos5π6+θ+sin2π3-θ=0.
(2)化简:sin400°sin230°cos850°tan50°=.
答案sin40°
解析sin400°sin230°cos850°tan50°
=sin(360°+40°)sin(360°-130°)cos(2×360°+130°)tan50°
=-sin40°sin130°cos130°tan50°=-sin40°sin(180°-50°)cos(180°-50°)sin50°cos50°
=-sin40°sin50°-cos50°·sin50°cos50°
=sin40°.
思维建模1.诱导公式的应用步骤
任意负角的三角函数任意正角的三角函数0~2π内的角的三角函数锐角三角函数.
2.诱导公式的两个应用
(1)求值:负化正,大化小,化到锐角为终了.
(2)化简:统一角,统一名,同角名少为终了.
训练2(1)已知α∈R,则下列等式恒成立的是()
A.sin(3π-α)=-sinα
B.sinπ-α2=-cosα2
C.co...
课标要求1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,sinxcosx=tanx.2.能利用单位圆中的对称性推导出π2±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
【知识梳理】
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.
(2)商数关系:sinαcosα=tanαα≠π2+kπ,k∈Z.
2.三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+α(k∈Z)
π+α
-α
π-α
π2-α
π2+α
正弦
sinα
-sinα
-sinα
sinα
cosα
cosα
余弦
cosα
-cosα
cosα
-cosα
sinα
-sinα
正切
tanα
tanα
-tanα
-tanα
口诀
奇变偶不变,符号看象限
[常用结论与微点提醒]
1.同角三角函数关系式的常用变形
(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα;
sinα=tanα·cosα.
2.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.
3.在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号.
【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)若α,β为锐角,则sin2α+cos2β=1.()
(2)sin(π+α)=-sinα成立的条件是α为锐角.()
(3)若α∈R,则tanα=sinαcosα恒成立.()
(4)若sin(kπ-α)=13(k∈Z),则sinα=13.()
答案(1)×(2)×(3)×(4)×
解析(1)对任意的角α,sin2α+cos2α=1.
(2)中对于任意α∈R,恒有sin(π+α)=-sinα.
(3)中当α的终边落在y轴上时,商数关系不成立.
(4)当k为奇数时,sinα=13,
当k为偶数时,sinα=-13.
2.(湘教必修一P168例5改编)已知α是第三象限角,sinα=-35,则tanα=()
A.-34B.34
C.-43D.43
答案B
解析由题意得cosα=-45,
故tanα=sinαcosα=34.
3.(人教A必修一P195T5改编)已知sin7π2+α=35,那么cosα=()
A.-45B.-35
C.35D.45
答案B
解析因为sin7π2+α=-cosα=35,
所以cosα=-35.
4.(北师大必修二P24例8(3)改编)求值:sin5π6cos-π4+sin11π6cos5π4=.
答案22
解析sin5π6cos-π4+sin11π6cos5π4
=sin-π6+πcosπ4+sin-π6+2πcosπ4+π
=sinπ6cosπ4+-sinπ6-cosπ4
=2×12×22=22.
考点一同角三角函数基本关系式
角度1切弦互化
例1(1)(2025·济南质检)若2sinθ-cosθsinθ+2cosθ=12,则cosθ(1-2sin2θ)sinθ+cosθ=()
A.-425B.425
C.-325D.325
答案C
解析∵2sinθ-cosθsinθ+2cosθ=2tanθ-1tanθ+2=12,
∴tanθ=43,
则cosθ(1-2sin2θ)sinθ+cosθ=1-2sin2θtanθ+1
=1-2×sin2θsin2θ+cos2θtanθ+1=1-2×tan2θtan2θ+1tanθ+1
=1-tan2θ(tanθ+1)(tan2θ+1)=1-16943+1×169+1
=-325.
(2)(2023·全国乙卷)若θ∈0,π2,tanθ=12,则sinθ-cosθ=.
答案-55
解析由tanθ=sinθcosθ=12,sin2θ+cos2θ=1,且θ∈0,π2,
解得sinθ=55,cosθ=255,故sinθ-cosθ=-55.
思维建模同角三角函数关系式的应用方法
(1)利用sin2α+cos2α=1可实现角α的正弦、余弦的互化,利用sinαcosα=tanα可实现角α的弦切互化.
(2)当分式中分子与分母是关于sinα,cosα的齐次式时,往往转化为关于tanα的式子求解.
角度2“和”“积”转换
例2(多选)已知θ∈(0,π),sinθ+cosθ=15,则下列结论正确的是()
A.sinθ=45B.cosθ=-35
C.tanθ=-34D.sinθ-cosθ=75
答案ABD
解析由题意知sinθ+cosθ=15,
∴(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=125,
∴2sinθcosθ=-24250,
∴sinθ-cosθ=1-2sinθcosθ
=1--2425=4925=75,
∴sinθ=45,cosθ=-35.
∴tanθ=-43,∴A,B,D正确.
思维建模正弦、余弦“sinα±cosα,sinαcosα”的应用:
sinα±cosα与sinαcosα通过平方关系联系到一起,即(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,
sinαcosα=(sinα+cosα)2-12,sinαcosα=1-(sinα-cosα)22.
训练1(1)已知x∈-π2,0,sin4x+cos4x=12,则sinx-cosx=()
A.2B.-2
C.22D.-22
答案B
解析因为sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x=1-2sin2xcos2x=12,
所以sin2xcos2x=14,
又x∈-π2,0,
所以sinx0,sinx-cosx0,
所以tan2θ-tanθ-1=0,得tanθ=5+12.
考点二诱导公式
例3(1)已知cosπ6-θ=a(|a|≤1),则cos5π6+θ+sin2π3-θ=.
答案0
解析由题知cos5π6+θ=cosπ-π6-θ
=-cosπ6-θ=-a,
sin2π3-θ=sinπ2+π6-θ
=cosπ6-θ=a,
∴cos5π6+θ+sin2π3-θ=0.
(2)化简:sin400°sin230°cos850°tan50°=.
答案sin40°
解析sin400°sin230°cos850°tan50°
=sin(360°+40°)sin(360°-130°)cos(2×360°+130°)tan50°
=-sin40°sin130°cos130°tan50°=-sin40°sin(180°-50°)cos(180°-50°)sin50°cos50°
=-sin40°sin50°-cos50°·sin50°cos50°
=sin40°.
思维建模1.诱导公式的应用步骤
任意负角的三角函数任意正角的三角函数0~2π内的角的三角函数锐角三角函数.
2.诱导公式的两个应用
(1)求值:负化正,大化小,化到锐角为终了.
(2)化简:统一角,统一名,同角名少为终了.
训练2(1)已知α∈R,则下列等式恒成立的是()
A.sin(3π-α)=-sinα
B.sinπ-α2=-cosα2
C.co...
