第2节 导数与函数的单调性

课标要求1.借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调性判断大小,求参数的取值范围等简单应用.



【知识梳理】

1.函数的单调性与导数的关系

条件

恒有

结论

函数y=f(x)在区间(a,b)上可导

f'(x)>0

f(x)在(a,b)上单调递增



f'(x)0有解;若函数f(x)在(a,b)上存在单调递减区间,则x∈(a,b)时,f'(x)0.()

(2)在(a,b)内f'(x)≤0且f'(x)=0的根为有限个,则f(x)在(a,b)内单调递减.()

(3)若函数f(x)在定义域上都有f'(x)>0,则f(x)在定义域上一定单调递增.()

(4)函数f(x)=x-sinx在R上是增函数.()

答案(1)×(2)√(3)×(4)√

解析(1)f(x)在(a,b)内单调递增,则有f'(x)≥0.

(3)反例,f(x)=-1x,虽然f'(x)=1x2>0,但f(x)=-1x在其定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不具有单调性.

2.(人教B选修三P95A组T1改编)已知函数f(x)的定义域为[0,2],且y=f'(x)的图象如图所示,则f(x)的单调递增区间是,单调递减区间是.



答案(0,1)(1,2)

解析由图知,当x∈(0,1)时,f'(x)>0,

当x∈(1,2)时,f'(x)0,

得x23,

故f(x)的单调递增区间为(-∞,-2),23,+∞.

4.(苏教选修一P213例2改编)若函数f(x)=x3+ax2-ax在R上单调递增,则实数a的取值范围是.

答案[-3,0]

解析f'(x)=3x2+2ax-a≥0在R上恒成立,所以4a2+12a≤0,解得-3≤a≤0.





考点一不含参函数的单调性

例1(1)设函数f(x)在定义域内可导,f(x)的图象如图所示,则其导函数f'(x)的图象可能是()







答案A

解析由f(x)的图象可知,当x∈(-∞,0)时,函数f(x)单调递增,

则f'(x)≥0,故排除C,D;

当x∈(0,+∞)时,函数f(x)先单调递减、再单调递增最后单调递减,

则导函数值f'(x)应先小于0,再大于0,最后小于0,故排除B,选A.

(2)(2025·浙江名校联考)函数f(x)=ln(2x-1)-x2+x的单调递增区间是()

A.(0,1)B.12,1

C.1-22,1+22D.12,1+22

答案D

解析函数f(x)=ln(2x-1)-x2+x的定义域为12,+∞,

且f'(x)=22x-1-2x+1=2-(2x-1)22x-1

=[2-(2x-1)][2+(2x-1)]2x-1,

令f'(x)>0,解得120,符合题意;

对于C,f'(x)=3x2-1,f'13=-231时,

f'(x)0,

∴f(x)在区间-∞,1a和(1,+∞)上单调递减,

在区间1a,1上单调递增;

若a=0时,当x0,

当x>1时,f'(x)1a时,f'(x)>0,

当11,当x1时,f'(x)>0,

当1a1时,f(x)在区间-∞,1a和(1,+∞)上单调递增,

在区间1a,1上单调递减.

思维建模若导函数为二次函数式,首先看能否因式分解,再讨论二次项系数的正负及两根的大小;若不能因式分解,则需讨论判别式Δ的正负,二次项系数的正负,两根的大小及根是否在定义域内.

训练2(2021·全国乙卷节选)讨论函数f(x)=x3-x2+ax+1的单调性.

解由题意知f(x)的定义域为R,

f'(x)=3x2-2x+a,

对于f'(x)=0,Δ=(-2)2-4×3a=4(1-3a).

①当a≥13时,f'(x)≥0,f(x)在R上单调递增;

②当a0,则xx2;

令f'(x)0,解得-12,

所以f(x)在(-1,2)上单调递增,在(-∞,-1),(2,+∞)上单调递减.

若f(x)=-13x3+12x2+2x+1是区间(m-1,m+4)上的单调函数,

则m+4≤-1或m-1≥2或m-1≥-1,m+4≤2,

解得m≤-5或m≥3.

角度2比较大小

例4已知函数f(x)=xsinx,x∈R,则fπ5,f(1),f-π3的大小关系为.

答案fπ50,

所以f(x)在0,π2上单调递增,

所以fπ50时,ex>1,00,

∴f'(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增.

∵f(log3m)-e-1e0(或f'(x)b>cB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

答案C

解析易知f'(x)=ex+x2-xxex

=ex+x-122-14xex,

又x∈(0,+∞)时,ex>1,x-122-14≥-14,

所以f'(x)>0,

即f(x)在(0,+∞)上单调递增,

故f73>f(2)>f32,即c>b>a.

(3)不等式x0,

∴f(x)在R上单调递增,又f23=0,

∴f(x)2时,f'(x)>0,

所以f(x)的单调递减区间是(-∞,2),单调递增区间是(2,+∞).

2.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是()





答案D

解析f'(x)>0的解集对应y=f(x)的单调递增区间,f'(x)0恒成立,

所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,

因为2.70恒成立,

所以函数f(x)在R上单调递增,

不等式f(2a2)+f(a-1)≤0?f(2a2)≤-f(a-1),即f(2a2)≤f(-a+1),

于是2a2≤-a+1,即2a2+a-1≤0,

解得-1≤a≤12,

所以实数a的取值范围为-1,12.

5.(2025·安徽名校联考)已知函数f(x)=sinx+acosx在π4,π2上单调递减,则实数a的取值范围为()

A.(2-1,+∞)B.[1,+∞)

C.(1-2,+∞)D.[-1,+∞)

答案B

解析由题意,f'(x)=cosx-asinx≤0在π4,π2上恒成立,

即a≥cosxsinx=1tanx在π4,π2上恒成立.

因为y=tanx在π4,π2上单调递增,

所以y=tanx>1,

所以当x∈π4,π2时,00的解集为()



A.(1,6)B.(1,4)

C.(-∞,1)∪(6,+∞)D.(1,4)∪(6,+∞)

答案D

解析由图象可得,

当x0,当x>4时,f'(x)0,f(x)>0,即f(x)·f'(x)>0;

当x>6时,f'(x)0,

所以f(x)·f'(x)>0的解集为(1,4)∪(6,+∞).

7.已知函数f(x)=(1-x)lnx+ax在(1,+∞)上不单调,则a的取值范围是()

A.(0,+∞)B.(1,+∞)

C.[0,+∞)D.[1,+∞)

答案A

解析依题意f'(x)=-lnx+1x+a-1,

故f'(x)在(1,+∞)上有变号零点,

令g(x)=-lnx+1x+a-1,

令g(x)=0,得a=lnx-1x+1,

令z(x)=lnx-1x+1,

则z'(x)=1x+1x2,

由x>1,得...