第2节 常用逻辑用语

课标要求1.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义.2.理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系.3.理解全称量词命题与存在量词命题的含义,能正确对两种命题进行否定.



【知识梳理】

1.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p?q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件

p?q且q?p

p是q的必要不充分条件

p?q且q?p

p是q的充要条件

p?q

p是q的既不充分也不必要条件

p?q且q?p

2.全称量词与存在量词

(1)全称量词:短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“?”表示.

(2)存在量词:短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“?”表示.

3.全称量词命题和存在量词命题

名称

全称量词命题

存在量词命题

结构

对M中的任意一个x,有p(x)成立

存在M中的元素x,p(x)成立

简记

?x∈M,p(x)

?x∈M,p(x)

否定

?x∈M,?p(x)

?x∈M,?p(x)

[常用结论与微点提醒]

1.会区别A是B的充分不必要条件(A?B且B?A),与A的充分不必要条件是B(B?A且A?B)两者的不同.

2.p是q的充分不必要条件,等价于?q是?p的充分不必要条件.

3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词,否结论”.

4.命题p和?p的真假性相反,若判断一个命题的真假有困难,可判断此命题否定的真假.

【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)至少有一个三角形的内角和为π是全称量词命题.()

(2)写全称量词命题的否定时,全称量词变为存在量词.()

(3)当p是q的充分条件时,q是p的必要条件.()

(4)若已知p:x>1和q:x≥1,则p是q的充分不必要条件.()

答案(1)×(2)√(3)√(4)√

解析(1)错误,至少有一个三角形的内角和为π是存在量词命题.

2.(人教A必修一P22习题1.4T2改编)命题“三角形是等边三角形”是命题“三角形是等腰三角形”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析由“三角形是等边三角形”可得到“该三角形一定是等腰三角形”,但反之不成立.

3.(人教A必修一P30例4(3)改编)命题“有一个偶数是素数”的否定是.

答案 任意一个偶数都不是素数

4.(人教B必修一P28T4改编)“?x∈[a,+∞),x2≥1”是真命题,则实数a的取值范围是.

答案[1,+∞)

解析∵x2≥1,即x≥1或x≤-1,且原命题是真命题,∴a的取值范围是a≥1.





考点一充分、必要条件的判定

例1(1)(2024·天津卷)设a,b∈R,则“a3=b3”是“3a=3b”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析由于函数y=x3和y=3x都是定义域R上的单调递增,

因此a3=b3,3a=3b均与a=b等价,

从而a3=b3是3a=3b的充要条件.

(2)(多选)ab+b-a-1=0的一个充分不必要条件可以是()

A.a=-1B.a=b

C.b=1D.ab=1

答案AC

解析由ab+b-a-1=0,可得(a+1)(b-1)=0,解得a=-1或b=1,故选AC.

思维建模充分、必要条件的两种判定方法:

(1)定义法:根据p?q,q?p进行判断,适用于定义、定理判断性问题.

(2)集合法:根据p,q对应的集合之间的包含关系进行判断,多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.

训练1(1)(2025·东北师大附中质检)已知p:1x0,则p是q的()

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析由1x1或x0得x2,不妨设集合B=(-∞,-3)∪(2,+∞).

因为B?A,所以p推不出q,而q能推出p,

所以p是q的必要不充分条件.故选C.

(2)在等比数列{an}中,“a1>0,且公比q>1”是“{an}为递增数列”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析当a1>0,且q>1时,

有an+1-an=a1qn-a1qn-1=a1qn-1(q-1)>0,

所以an+1>an(n∈N*),即{an}为递增数列;

当{an}为递增数列时,

即对一切n∈N*,有an+1>an恒成立,

所以an+1-an=a1qn-1(q-1)>0,

但a10,且q>1.

则“a1>0,且公比q>1”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件.

考点二充分、必要条件的应用

例2(2025·西安模拟)若“x2-5x+41.若p是q的充分不必要条件,则m的取值范围是()

A.(-∞,0]B.[0,+∞)

C.[-1,+∞)D.(-∞,-1]

答案A

解析由log2(x-1)1,得00

B.?x∈R,x2-4x+6≤0

C.?x∈R,x2-4x+61;命题q:?x>0,x3=x.则()

A.p和q都是真命题

B.?p和q都是真命题

C.p和?q都是真命题

D.?p和?q都是真命题

答案B

解析在命题p中,当x=-1时,|x+1|=0,

所以命题p为假命题,?p为真命题.

在命题q中,因为立方根等于本身的实数有-1,0,1,所以?x>0,使得x3=x,

所以命题q为真命题,?q为假命题,

所以?p和q都是真命题.

角度2含量词命题的应用

例4(2024·河南百校联考)已知p:?x∈[-1,2],x2-2x+a0,x+1x≥2

B.?x-2

C.?x>0,x1+x2≥12

D.?x0,x+1x≥2x·1x=2,

当且仅当x=1时,等号成立,故A正确;

对于B,对于?x0,x+1x=--x+1-x≤-2-x·1-x=-2,

当且仅当x=-1时,等号成立,

故命题?x-2为假命题,故B错误;

对于C,易知对于?x>0,

x1+x2=1x+1x≤12x·1x=12,

当且仅当x=1时,等号成立,故C错误;

对于D,易知当x=-1时,x1+x2=-12,

即?x0”,故B错误;

若命题p为真...