第2节平面向量基本定理及坐标表示

课标要求1.理解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.



【知识梳理】

1.平面向量的基本定理

条件

e1,e2是同一平面内的两个不共线向量

结论

对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2

基底

若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底

2.平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.

3.平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模

设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则

a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),|a|=x12+y12.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.

②设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1),|AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2.

4.平面向量共线的坐标表示

设a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量a,b(b≠0)共线的充要条件是x1y2-x2y1=0.

[常用结论与微点提醒]

1.平面内不共线向量都可以作为基底,反之亦然.

2.若a与b不共线,λa+μb=0,则λ=μ=0.

3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量,无论起点在什么位置,它们的坐标都是相同的.

【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)设a,b是平面内的一个基底,若实数λ1,μ1,λ2,μ2满足λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2.()

(2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件可以表示成x1x2=y1y2.()

(3)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.()

答案(1)√(2)×(3)√

解析(2)若b=(0,0),则x1x2=y1y2无意义.

2.(人教A必修二P31例7改编)已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b,则y=.

答案3

解析因为a∥b,所以4y-2×6=0,解得y=3.

3.(人教B必修二P170例5改编)已知平行四边形ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则顶点D的坐标为.

答案(1,5)

解析设D(x,y),则AB=DC,

得(3-(-1),-1-(-2))=(4,1)=(5-x,6-y),

即4=5-x,1=6-y,解得x=1,y=5,即D(1,5).

4.(北师大必修二P100例1改编)如图,在?ABCD中,点E,F分别为BC,DC的中点,AB=a,AD=b,则BF=,DE=(用a,b表示).



答案b-12aa-12b

解析根据题意,得BC=AD=b,

CF=-12AB=-12a,

所以BF=BC+CF=b-12a.

同理DE=DC+CE

=AB-12AD=a-12b.



考点一平面向量基本定理的应用

例1(1)(2025·漳州质检)在△ABC中,D是边BC上一点,且BD=2DC,E是AC的中点,记AC=m,AD=n,则BE=()

A.53n-3mB.72n-3m

C.72m-3nD.52m-3n

答案D

解析BE=AE-AB

=12AC-(AC+CB)

=-12AC-3CD

=-12AC-3(AD-AC)

=52AC-3AD=52m-3n.



(2)(2025·河南名校检测)在△ABC中,BE=12EC,BF=12(BA+BC),点P为AE与BF的交点,AP=λAB+μAC,则λ-μ=.

答案14

解析因为BF=12(BA+BC),

所以F为AC的中点,

由B,P,F三点共线,

可设BP=kBF(0
即AP-AB=k(AF-AB),

整理得AP=kAF+(1-k)AB

=(1-k)AB+12kAC.

因为BE=12EC,

所以AE-AB=12AC-12AE,

即AE=13AC+23AB.

由A,P,E三点共线,

可得AP=mAE=m13AC+23AB

=13mAC+23mAB(0
所以2m3=1-k,m3=12k,解得k=12,m=34,

可得AP=12AB+14AC,

则λ=12,μ=14,λ-μ=14.

思维建模1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.

2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一个基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的,但在每个基底下的分解都是唯一的.

训练1(1)(多选)下列命题中正确的是()

A.若p=xa+yb,则p与a,b共面

B.若p与a,b共面,则存在实数x,y使得p=xa+yb

C.若MP=xMA+yMB,则P,M,A,B共面

D.若P,M,A,B共面,则存在实数x,y使得MP=xMA+yMB

答案AC

解析对于B,若a,b共线,p与a,b不共线,则不存在实数x,y使得p=xa+yb,故B错误;

对于D,若M,A,B共线,P在直线AB外,则不存在实数x,y使得MP=xMA+yMB,故D错误;

由平面向量基本定理知A,C正确.

(2)(2025·南通、如皋诊断)已知△ABC的边BC的中点为D,点E在△ABC所在平面内,且CD=3CE-2CA.若AC=xAB+yBE,则x+y=()

A.5B.7

C.9D.11

答案D

解析∵CD=3CE-2CA,D为BC的中点,

∴CE=13CD+23CA=-16BC-23AC.

∵AC=xAB+yBE,

∴BE=1yAC-xyAB,

∴BC=BE-CE=1y+23AC-xyAB+16BC,

∴56BC=1y+23AC-xyAB,

即56AC-56AB=1y+23AC-xyAB,

由平面向量基本定理知,

56=1y+23,-56=-xy,解得x=5,y=6,∴x+y=11.

考点二平面向量的坐标运算

例2(1)(2025·雅安诊断)已知D,E分别为△ABC的边AB,AC的中点,若DE=(3,4),B(-2,-3),则点C的坐标为()

A.(4,5)B.(1,1)

C.(-5,-7)D.(-8,-11)

答案A

解析因为D,E分别为AB,AC的中点,

所以BC=2DE=(6,8),

设C(x,y),又B(-2,-3),

所以(x+2,y+3)=(6,8),

即x+2=6,y+3=8,解得x=4,y=5.



(2)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若CA=λCE+μDB(λ,μ∈R),则λ+μ的值为.



答案85

解析建立如图所示的平面直角坐标系,则D(0,0).



不妨设AB=1,则CD=AD=2,