第2节 等差数列及其前n项和

课标要求1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.



【知识梳理】

1.等差数列的概念

(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.

数学语言表达式:an+1-an=d(n∈N*,d为常数).

(2)等差中项:由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列,这时A叫做a与b的等差中项,根据等差数列的定义可知2A=a+b.

2.等差数列的通项公式与前n项和公式

(1)若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d.

(2)前n项和公式:Sn=na1+n(n-1)d2=n(a1+an)2.

3.等差数列的性质

(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).

(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.

(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.

(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.

(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列Snn也为等差数列.

[常用结论与微点提醒]

1.已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列,且公差为p.

2.在等差数列{an}中,a1>0,d0,则Sn存在最小值.

3.等差数列{an}的单调性:当d>0时,{an}是递增数列;当d0,

则S2-S1=4a1-a1=d,

得a1=d2,所以Sn=S1+(n-1)d=nd,

所以Sn=n2d2,

所以n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2d2-(n-1)2d2=2d2n-d2,对n=1也适合,

所以an=2d2n-d2,

所以an+1-an=2d2(n+1)-d2-(2d2n-d2)=2d2(常数),

所以数列{an}是等差数列.

思维建模1.等差数列的判定与证明的常用方法

(1)定义法:对任意n∈N*,an+1-an是同一常数.

(2)等差中项法:2an+1=an+an+2?{an}为等差数列.

(3)通项公式法:an=an+b(a,b是常数)?{an}为等差数列.

(4)前n项和公式法:Sn=an2+bn(a,b为常数)?{an}为等差数列.

2.若要判定一个数列不是等差数列,则只需找出三项an,an+1,an+2,使得这三项不满足2an+1=an+an+2即可.

训练2(2021·全国乙卷)记Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积,已知2Sn+1bn=2.

(1)证明:数列{bn}是等差数列;

(2)求{an}的通项公式.

(1)证明因为bn是数列{Sn}的前n项积,

所以当n≥2时,Sn=bnbn-1,

代入2Sn+1bn=2,可得2bn-1bn+1bn=2,

整理可得2bn-1+1=2bn,

即bn-bn-1=12(n≥2).

又2S1+1b1=3b1=2,所以b1=32,

故{bn}是以32为首项,12为公差的等差数列.

(2)解由(1)可知,bn=32+12(n-1)=n+22,

则2Sn+2n+2=2,所以Sn=n+2n+1,

当n=1时,a1=S1=32,

当n≥2时,

an=Sn-Sn-1=n+2n+1-n+1n=-1n(n+1).

又a1=32不满足上式.

故an=32,n=1,-1n(n+1),n≥2.

考点三等差数列的性质及应用

角度1项的性质

例3(1)(2025·济南质检)已知正项等差数列{an}满足tana5tana7+tana5+tana7=1,a60,S3=S11,则当n为多少时,Sn最大?

解法一设公差为d.由S3=S11,

可得3a1+3×22d=11a1+11×102d,

即d=-213a1.

从而Sn=d2n2+a1-d2n=-a113(n-7)2+4913a1,

因为a1>0,所以-a1130,S3=S11可知d0,a80,a8>0,

∴a7·a8≤a7+a822=1022=25,

当且仅当a7=a8=5时,等号成立.

此时数列为常数列,

则an=5,所以S10=50.

(3)(多选)(2025·海口调研)已知首项为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn,若(S15-S11)(S15-S12)0

B.S110,则a14+a13>0,不符合题意,

所以a140,故A正确;

对于B,由A可知S15-S11=a15+a14+a13+a12=2(a14+a13)>0,

则S15>S11,

S15-S12=3a140,

所以a13>0,故n=13时,Sn取最大值,故C错误;

对于D,由S27=27(a1+a27)2=27a140,

且{an}是首项为正数的等差数列,故D正确.



一、单选题

1.(2025·合肥模拟)数列{an}中,an=an+1+2,a5=18,则a1+a2+…+a10=()

A.210B.190

C.170D.150

答案C

解析由an=an+1+2知数列{an}是公差为-2的等差数列,

所以a1+a2+…+a10=5(a5+a6)=5×(18+16)=5×34=170.

2.(2025·西安调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S2=2,S6=9,则S10=()

A.14B.16

C.18D.20

答案D

解析设数列{an}的公差为d,由S2=2,S6=9,

得2a1+d=2,6a1+6×52d=9,解得a1=78,d=14,

所以S10=10a1+10×92d=354+454=20.

3.(2025·潍坊模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=-1,S7=5a4+10,则S4=()

A.6B.7

C.8D.10

答案C

解析因为数列{an}为等差数列,

所以S7=7(a1+a7)2=7×2a42=7a4,

又S7=5a4+10,则7a4=5a4+10,即a4=5,

则S4=4(a1+a4)2=4×(-1+5)2=8.

4.(2025·金华十校联考)等差数列{an}的首项为正数,公差为d,Sn为{an}的前n项和,若a2=3,且S2,S1+S3,S5成等比数列,则d=()

A.1B.2

C.92D.2或92

答案B

解析因为{an}是等差数列,

所以S2=a1+a2=a2-d+a2=6-d,

S1+S3=a1+a1+a2+a3=2(a2-d)+a2+a2+d=4a2-d=12-d,

S5=5a3=5(a2+d)=15+5d,

由S2,S1+S3,S5成等比数列得(S1+S3)2=S2·S5,

即(12-d)2=(6-d)(15+5d),

解得d=2或d=92,

当d=92时,a1=3-92=-320,

Sn=na1+n(n-1)2d=-3d2n+n2d-nd2=n2d2-2nd=d2(n2-4n+4-4)=d2(n-2)2-2d,

故当n=2时,Sn取得最大值.

6.(2025·南京模拟)设Sn是等差数列{an}的前n项和.若a5a7=399,则S9S13=()

A.13B.12

C.2D.3
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