第3节二项式定理

课标要求1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.



【知识梳理】

1.二项式定理

(1)二项式定理:(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn(n∈N*);

(2)通项:Tk+1=Cnkan-kbk,k=0,1,2,…,n,它表示第k+1项;

(3)二项式系数:二项展开式中各项的系数Cn0,Cn1,…,Cnn.

2.二项式系数的性质

性质

性质描述

对称性

与首末等距离的两个二项式系数相等,即Cnm=Cnn-m

增减性

二项式

系数Cnk

当kn+12(n∈N*)时,是递减的

二项式系数最

大值

当n为偶数时,中间的一项Cnn2取得最大值



当n为奇数时,中间的两项Cnn-12与Cnn+12相等且取得最大值

3.各二项式系数和

(1)(a+b)n展开式的各二项式系数和:Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n.

(2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,即Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+Cn5+…=2n-1.

[常用结论与微点提醒]

(a+b)n的展开式形式上的特点:

(1)项数为n+1;

(2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n;

(3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n;

(4)二项式系数从Cn0,Cn1,一直到Cnn-1,Cnn.

【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)Cnkan-kbk是二项展开式的第k项.()

(2)二项展开式中,二项式系数最大的项为中间一项.()

(3)(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关.()

(4)(a+b)n某项的系数是该项中非字母因数部分,包括符号等,与该项的二项式系数不同.()

答案(1)×(2)×(3)√(4)√

解析二项展开式中Cnkan-kbk是第k+1项,二项式系数最大的项为中间一项或中间两项,故(1)(2)均不正确.

2.(苏教选修二P85T2原题)(x-2y)7的展开式中第3项的二项式系数是()

A.C72B.C73

C.4C72D.16C75

答案A

解析二项式系数是指C70,C71,C72,…,C77,

故第3项的二项式系数为C72.

3.(人教A选修三P34T1改编)在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是.

答案-121

解析将(1-x)5,(1-x)6,(1-x)7,(1-x)8中含x3项的系数分别相加,即得展开式中含x3项的系数为C53(-1)3+C63(-1)3+C73(-1)3+C83(-1)3=-121.

4.(北师大选修一P178T1改编)化简:Cn0-Cn1+Cn2-Cn3+…+(-1)nCnn=.

答案0

解析由二项式(1+x)n=Cn0x0+Cn1x1+Cn2x2+…+Cnnxn,

令x=-1,得(1-1)n=Cn0-Cn1+Cn2-Cn3+…+(-1)nCnn=0.



考点一二项展开式与通项

角度1求二项展开式的特定项

例1(1)(2024·北京卷)在(x-x)4的展开式中,x3的系数为()

A.6B.-6

C.12D.-12

答案A

解析法一(x-x)4的展开式的通项Tr+1=C4rx4-r(-x)r=(-1)rC4rx4-r2(r=0,1,2,3,4).

由4-r2=3,得r=2,所以(x-x)4的展开式中x3的系数为(-1)2C42=6.

法二(x-x)4的展开式中含x3的项是由(x-x)(x-x)(x-x)(x-x)中任意取2个括号内的x与剩余的2个括号内的(-x)相乘得到的,所以(x-x)4的展开式中含x3的项为C42x2·C22(-x)2=6x3,

所以(x-x)4的展开式中x3的系数为6.

(2)(2025·天津段测)x-3x26展开式中的常数项是()

A.-135B.135

C.1215D.-1215

答案B

解析二项展开式的通项

Tr+1=C6rx6-r·-3x2r=C6r(-3)rx6-3r,

令6-3r=0,解得r=2,

所以常数项T3=C62(-3)2=135.

角度2两项之积与三项展开式

例2(1)(2025·湖北十一校联考)(x2+ax-1)·(1-x)6的展开式中x2的系数是-2,则实数a的值为()

A.0B.3

C.-1D.-2

答案D

解析展开式中含x2的项为x2·1+ax·C61(-x)1+(-1)·C62(-x)2=x2-6ax2-15x2=-(6a+14)x2,

所以-(6a+14)=-2,解得a=-2.

(2)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为.

答案30

解析法一(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5,

含y2的项为T3=C52(x2+x)3·y2,

其中(x2+x)3中含x5的项为C31x4·x=C31x5.

所以x5y2的系数为C52C31=30.

法二(x2+x+y)5表示5个因式(x2+x+y)之积,

∴x5y2可从两个因式中取x2,剩余的3个因式中1个取x,其余两个因式取y,

因此x5y2的系数为C52C31C22=30.

角度3整除问题

例3(2025·郑州质测)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中对同余除法有较深的研究.设a,b,m(m>0)为整数,若a和b被m除得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为a≡b(modm).若a=C201·2+C202·22+…+C2020·220,a≡b(mod10),则b的值可以是()

A.2018B.2020

C.2022D.2024

答案B

解析因为a=C201·2+C202·22+…+C2020·220=C200+C201·2+C202·22+…+C2020·220-1=(1+2)20-1=320-1,

所以a=320-1=(32)10-1=910-1

=(10-1)10-1=C1001010-C101109+C102108-…-C10910+C1010-1

=C1001010-C101109+C102108-…-C10910,

所以a能被10整除,

从选项可以看出,只有2020能被10整除,

即b的值可以为2020.

思维建模1.求二项展开式中的特定项,一般是化简通项后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出项数k+1,代回通项即可.

2.对于几个多项式积的展开式中的特定项问题,一般都可以根据因式连乘的规律,结合组合思想求解,对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决,或利用展开式的原理求解.

3.对于整除问题,要注意寻找目标展开式,如被9整除时,242=814=(9-1)14.

训练1(1)(2025·武汉调研)(2x-3)(x-1)5的展开式中含x3项的系数为()

A.-50B.50

C.-10D.10

答案A

解析(2x-3)(x-1)5=2x(x-1)5...