第3节圆的方程

课标要求1.理解确定圆的几何要素,探索并掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.



【知识梳理】

1.圆的定义和圆的方程

定义

圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合

方程

标准

(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)

圆心C(a,b)







半径为r



一般

x2+y2+Dx+Ey+F=0

(D2+E2-4F>0)

充要条件:D2+E2-4F>0







圆心坐标:-D2,-E2







半径r=12D2+E2-4F

2.点与圆的位置关系

平面上的一点M(x0,y0)与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2之间存在着下列关系:

(1)|MC|>r?M在圆外,即(x0-a)2+(y0-b)2>r2?M在圆外;

(2)|MC|=r?M在圆上,即(x0-a)2+(y0-b)2=r2?M在圆上;

(3)|MC|0,则点(x0,y0)必在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0内.()

(4)以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.()

答案(1)×(2)√(3)×(4)√

解析(1)当a=0时,x2+y2=0表示点(0,0);当a≠0时,表示半径为|a|的圆.

(3)配方后,x0+D22+y0+E22>D2+E2-4F4,

即x0+D22+y0+E22>D2+E2-4F2,点(x0,y0)在圆外.

2.(北师大选修一P44T2原题)已知圆C:2x2+2y2+4x-2y-1=0,则圆心的坐标为,半径为.

答案-1,1272

解析将圆的方程化为标准方程(x+1)2+y-122=74,

则圆心为-1,12,半径r=72.

3.(人教B选修一P110T4改编)若坐标原点不在圆x2+y2-ay+a-1=0的内部,则实数a的取值范围是.

答案[1,2)∪(2,+∞)

解析将(0,0)代入方程,有02+02-a·0+a-1≥0,得a≥1.

圆的方程可化为x2+y-a22=a24-a+1,

∴a24-a+1>0,∴a≠2,

∴实数a的取值范围为[1,2)∪(2,+∞).

4.(人教A选修一P85T3改编)已知两点A(4,9)和B(6,3),则以AB为直径的圆的标准方程是.

答案(x-5)2+(y-6)2=10

解析由题意得所求圆的圆心为线段AB的中点4+62,3+92,即(5,6),

半径为|AB|2=(6-4)2+(3-9)22=10,

所以所求圆的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=10.



考点一圆的方程

例1(1)(2024·北京卷)圆x2+y2-2x+6y=0的圆心到直线x-y+2=0的距离为()

A.2B.2

C.3D.32

答案D

解析化圆的一般方程为标准方程,得(x-1)2+(y+3)2=10,所以该圆的圆心(1,-3)到直线x-y+2=0的距离为|1-(-3)+2|12+(-1)2=62=32.

(2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为.

答案(x-1)2+(y+1)2=5

解析法一设☉M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,

则2a+b-1=0,(3-a)2+b2=r2,a2+(1-b)2=r2,解得a=1,b=-1,r2=5,

∴☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.

法二设☉M的方程为

x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),

则M-D2,-E2,

∴2·-D2+-E2-1=0,9+3D+F=0,1+E+F=0,解得D=-2,E=2,F=-3,

∴☉M的方程为x2+y2-2x+2y-3=0,

即(x-1)2+(y+1)2=5.

法三设A(3,0),B(0,1),☉M的半径为r,

则kAB=1-00-3=-13,AB的中点坐标为32,12,

∴AB的垂直平分线方程为y-12=3x-32,

即3x-y-4=0.

联立3x-y-4=0,2x+y-1=0,解得x=1,y=-1,

所以M(1,-1),

∴r2=|MA|2=(3-1)2+[0-(-1)]2=5,

∴☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.

思维建模求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程.

(1)几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质:①圆心在过切点且垂直切线的直线上;②圆心在任一弦的中垂线上;③两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线;

(2)代数法,即设出圆的方程,标准方程或一般方程,用待定系数法求系数.

训练1(1)若圆C经过坐标原点,且圆心在直线y=-2x+3上运动,当半径最小时,圆的方程为.

答案x-652+y-352=95

解析设圆心坐标为(a,-2a+3),

则圆的半径r=(a-0)2+(-2a+3-0)2

=5a2-12a+9=5a-652+95.

当a=65时,rmin=355.

故所求圆的方程为x-652+y-352=95.

(2)(2022·全国乙卷)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为.

答案(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5或x-432+y-732=659或x-852+(y-1)2=16925(写出一个即可)

解析依题意设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-4F>0.

①若圆过(0,0),(4,0),(-1,1)三点,

则F=0,16+4D+F=0,1+1-D+E+F=0,解得F=0,D=-4,E=-6,

所以圆的方程为x2+y2-4x-6y=0,

即(x-2)2+(y-3)2=13;

②若圆过(0,0),(4,0),(4,2)三点,

则F=0,16+4D+F=0,16+4+4D+2E+F=0,解得F=0,D=-4,E=-2,

所以圆的方程为x2+y2-4x-2y=0,

即(x-2)2+(y-1)2=5;

③若圆过(0,0),(4,2),(-1,1)三点,

则F=0,1+1-D+E+F=0,16+4+4D+2E+F=0,解得F=0,D=-83,E=-143,

所以圆的方程为x2+y2-83x-143y=0,

即x-432+y-732=659;

④若圆过(-1,1),(4,0),(4,2)三点,

则1+1-D+E+F=0,16+4D+F=0,16+4+4D+2E+F=0,解得F=-165,D=-165,E=-2,

所以圆的方程为x2+y2-165x-2y-165=0,

即x-852+(y-1)2=16925.

考点二与圆有关的轨迹问题

例2已知Rt△ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0),求:

(1)直角顶点C的轨迹方程;

(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.

解(1)法一设C(x,y),因为A,B,C三点不共线,所以y≠0.

因为AC⊥BC,且BC,AC斜率均存在,

所以kAC·kBC=-1.

又kAC=yx+1,kBC=yx-3,

所以yx+1·yx-3=-1,

化简得x2+y2-2x-3=0.

因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0).

法二设AB的中点为D,

由中点坐标公式得D(1,0),

由直角三角形的性质知|CD|=12|AB|=2...