第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系（2026版创新设计高考数学总复习配套word文档教师版） 人教版
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第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系
课标要求1.借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理,并能应用定理解决问题.
【知识梳理】
1.与平面有关的基本事实及推论
(1)与平面有关的三个基本事实
基本事实
内容
图形
符号
基本
事实1
过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面
A,B,C三点不共线?存在唯一的α使A,B,C∈α
基本
事实2
如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内
A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α?l?α
基本
事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α,且P∈β?α∩β=l,且P∈l
(2)三个推论
推论
内容
图形
作用
推论1
经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面
确定平面的依据
推论2
经过两条相交直线,有且只有一个平面
推论3
经过两条平行直线,有且只有一个平面
2.空间点、直线、平面之间的位置关系
直线与直线
直线与平面
平面与平面
平行关系
图形语言
符号语言
a∥b
a∥α
α∥β
相交关系
图形语言
符号语言
a∩b=A
a∩α=A
α∩β=l
独有关系
图形语言
符号语言
a,b是
异面直线
a?α
3.基本事实4和等角定理
(1)基本事实4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
(2)等角定理:如果空间中两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
4.异面直线所成的角
(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点O分别作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)范围:0,π2.
[常用结论与微点提醒]
1.过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线.
2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时,容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角,也可能等于其补角.
【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)没有公共点的两条直线是异面直线.()
(2)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条直线.()
(3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.()
(4)若直线a不平行于平面α,且a?α,则α内的所有直线与a异面.()
答案(1)×(2)×(3)×(4)×
解析(1)两条平行直线也没有公共点,故错误.
(2)如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线,故错误.
(3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面相交或重合,故错误.
(4)由于a不平行于平面α,且a?α,则a与平面α相交,故平面α内有与a相交的直线,故错误.
2.(人教A必修二P128T2改编)下列命题正确的是()
A.空间任意三个点确定一个平面
B.一个点和一条直线确定一个平面
C.空间两两相交的三条直线确定一个平面
D.空间两两平行的三条直线确定一个或三个平面
答案D
解析A中,空间不共线的三点确定一个平面,A错;
B中,只有点在直线外时才能确定一个平面,B错;
C中,空间两两相交的三条直线确定一个平面或三个平面,C错;故只有选项D正确.
3.(人教A必修二P147例1改编)在长方体ABCD-A′B′C′D′中,AB=BC=1,AA′=2,则异面直线BA′与AC所成角的余弦值为.
答案1010
解析如图,连接CD′,
易知CD′綉BA′,
则∠ACD′或其补角是异面直线BA′与AC所成的角,
连接AD′,在△ACD′中,
AC=2,AD′=CD′=5,
设AC的中点为O,则D′O⊥AC,
故cos∠ACD′=225=1010.
4.(苏教必修二P175T15改编)如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则
(1)当AC,BD满足条件时,四边形EFGH为菱形;
(2)当AC,BD满足条件时,四边形EFGH为正方形.
答案(1)AC=BD
(2)AC=BD且AC⊥BD
解析(1)要使四边形EFGH为菱形,应有EF=EH,
∵EF綉12AC,EH綉12BD,∴AC=BD.
(2)要使四边形EFGH为正方形,
应有EF=EH且EF⊥EH,
∵EF綉12AC,EH綉12BD,
∴AC=BD且AC⊥BD.
考点一基本事实与推论的应用
例1已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.
求证:(1)D,B,E,F四点共面;
(2)若A1C交平面DBFE于点R,则P,Q,R三点共线;
(3)DE,BF,CC1三线交于一点.
证明(1)如图所示,连接B1D1.
因为EF是△D1B1C1的中位线,所以EF∥B1D1.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1D1∥BD,
所以EF∥BD,所以EF,BD确定一个平面,
即D,B,E,F四点共面.
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接A1C,
设A1,C,C1确定的平面为α,又设平面BDEF为β.
因为Q∈A1C1,所以Q∈α.
又Q∈EF,所以Q∈β,
所以Q是α与β的公共点,
同理,P是α与β的公共点.
所以α∩β=PQ.
又A1C∩β=R,所以R∈A1C,R∈α,且R∈β.
则R∈PQ,故P,Q,R三点共线.
(3)因为EF∥BD且EF
所以DE与BF相交,
设交点为M,则由M∈DE,DE?平面D1DCC1,得M∈平面D1DCC1,
同理,M∈平面B1BCC...
课标要求1.借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理,并能应用定理解决问题.
【知识梳理】
1.与平面有关的基本事实及推论
(1)与平面有关的三个基本事实
基本事实
内容
图形
符号
基本
事实1
过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面
A,B,C三点不共线?存在唯一的α使A,B,C∈α
基本
事实2
如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内
A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α?l?α
基本
事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α,且P∈β?α∩β=l,且P∈l
(2)三个推论
推论
内容
图形
作用
推论1
经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面
确定平面的依据
推论2
经过两条相交直线,有且只有一个平面
推论3
经过两条平行直线,有且只有一个平面
2.空间点、直线、平面之间的位置关系
直线与直线
直线与平面
平面与平面
平行关系
图形语言
符号语言
a∥b
a∥α
α∥β
相交关系
图形语言
符号语言
a∩b=A
a∩α=A
α∩β=l
独有关系
图形语言
符号语言
a,b是
异面直线
a?α
3.基本事实4和等角定理
(1)基本事实4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
(2)等角定理:如果空间中两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
4.异面直线所成的角
(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点O分别作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)范围:0,π2.
[常用结论与微点提醒]
1.过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线.
2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时,容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角,也可能等于其补角.
【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)没有公共点的两条直线是异面直线.()
(2)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条直线.()
(3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.()
(4)若直线a不平行于平面α,且a?α,则α内的所有直线与a异面.()
答案(1)×(2)×(3)×(4)×
解析(1)两条平行直线也没有公共点,故错误.
(2)如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线,故错误.
(3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面相交或重合,故错误.
(4)由于a不平行于平面α,且a?α,则a与平面α相交,故平面α内有与a相交的直线,故错误.
2.(人教A必修二P128T2改编)下列命题正确的是()
A.空间任意三个点确定一个平面
B.一个点和一条直线确定一个平面
C.空间两两相交的三条直线确定一个平面
D.空间两两平行的三条直线确定一个或三个平面
答案D
解析A中,空间不共线的三点确定一个平面,A错;
B中,只有点在直线外时才能确定一个平面,B错;
C中,空间两两相交的三条直线确定一个平面或三个平面,C错;故只有选项D正确.
3.(人教A必修二P147例1改编)在长方体ABCD-A′B′C′D′中,AB=BC=1,AA′=2,则异面直线BA′与AC所成角的余弦值为.
答案1010
解析如图,连接CD′,
易知CD′綉BA′,
则∠ACD′或其补角是异面直线BA′与AC所成的角,
连接AD′,在△ACD′中,
AC=2,AD′=CD′=5,
设AC的中点为O,则D′O⊥AC,
故cos∠ACD′=225=1010.
4.(苏教必修二P175T15改编)如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则
(1)当AC,BD满足条件时,四边形EFGH为菱形;
(2)当AC,BD满足条件时,四边形EFGH为正方形.
答案(1)AC=BD
(2)AC=BD且AC⊥BD
解析(1)要使四边形EFGH为菱形,应有EF=EH,
∵EF綉12AC,EH綉12BD,∴AC=BD.
(2)要使四边形EFGH为正方形,
应有EF=EH且EF⊥EH,
∵EF綉12AC,EH綉12BD,
∴AC=BD且AC⊥BD.
考点一基本事实与推论的应用
例1已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.
求证:(1)D,B,E,F四点共面;
(2)若A1C交平面DBFE于点R,则P,Q,R三点共线;
(3)DE,BF,CC1三线交于一点.
证明(1)如图所示,连接B1D1.
因为EF是△D1B1C1的中位线,所以EF∥B1D1.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1D1∥BD,
所以EF∥BD,所以EF,BD确定一个平面,
即D,B,E,F四点共面.
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接A1C,
设A1,C,C1确定的平面为α,又设平面BDEF为β.
因为Q∈A1C1,所以Q∈α.
又Q∈EF,所以Q∈β,
所以Q是α与β的公共点,
同理,P是α与β的公共点.
所以α∩β=PQ.
又A1C∩β=R,所以R∈A1C,R∈α,且R∈β.
则R∈PQ,故P,Q,R三点共线.
(3)因为EF∥BD且EF
所以DE与BF相交,
设交点为M,则由M∈DE,DE?平面D1DCC1,得M∈平面D1DCC1,
同理,M∈平面B1BCC...
