第3节 不等式及其性质

课标要求1.理解用作差法比较两个实数大小的理论依据.2.理解不等式的性质,掌握不等式性质的简单应用.



【知识梳理】

1.两个实数比较大小的方法

(1)作差法a-b>0?a>b,a-b=0?a=b,a-b1(a∈R,b>0)?a>b(a∈R,b>0),ab=1?a=ba,b≠0,ab0)?a0).

2.不等式的性质

(1)对称性:a>b?bb,b>c?a>c;

(3)同向可加性:a>b?a+c>b+c;a>b,c>d?a+c>b+d;

(4)可乘性:a>b,c>0?ac>bc;a>b,cb>0,c>d>0?ac>bd;

(5)可乘方性:a>b>0?an>bn(n∈N,n≥1);

(6)可开方性:a>b>0?na>nb(n∈N,n≥2).

[常用结论与微点提醒]

1.证明不等式的常用方法有:作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法.

2.有关分式的性质

(1)若a>b>0,m>0,则bab-ma-m(b-m>0).

(2)若ab>0,则a>b?1ab?ac3>bc3.()

(2)a=b?ac=bc.()

(3)若ab>1,则a>b.()

(4)abc3?a>b;

反之,c≤0时,a>b?ac3>bc3.

(2)由等式的性质,a=b?ac=bc;

反之,c=0时,ac=bc?a=b.

(3)a=-3,b=-1,则ab>1,但abc2,则a>b

B.若a>b>0,则a2>b2

C.若a1b

答案ABD

解析C中,若a=-2,b=-1,

则a2>ab>b2,故C错误.其余均为真命题.

3.(苏教必修一P53例3改编)设M=x2+y2+1,N=2(x+y-1),则M与N的大小关系为.

答案M>N

解析M-N=x2+y2+1-2x-2y+2

=(x-1)2+(y-1)2+1>0.故M>N.

4.(人教B必修一P81习题2-2BT3改编)已知a∈(1,3),b∈(2,3),则a-2b的取值范围是.

答案(-5,-1)

解析由b∈(2,3)得-61,∴ab0,

∴abaN

解析法一M-N=e2024+1e2025+1-e2025+1e2026+1

=(e2024+1)(e2026+1)-(e2025+1)2(e2025+1)(e2026+1)

=e2024+e2026-2e2025(e2025+1)(e2026+1)

=e2024(e-1)2(e2025+1)(e2026+1)>0.

∴M>N.

法二令f(x)=ex+1ex+1+1

=1e(ex+1+1)+1-1eex+1+1=1e+1-1eex+1+1,

显然f(x)是R上的减函数,

∴f(2024)>f(2025),即M>N.

思维建模比较大小的常用方法

(1)作差法:①作差;②变形;③定号;④得出结论.

(2)作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④得出结论.

(3)构造函数,利用函数的单调性比较大小.

训练1(1)若a=ln33,b=ln44,c=ln55,则()

A.ab;

bc=5ln44ln5=log6251024>1,所以b>c.

即c0,得0e.

∴f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,∴f(3)>f(4)>f(5),即a>b>c.

(2)(2025·上海调研)如果xyx>1x

解析法一因为三个式子的值很明显都是负数,

且y2xyx=y∈(0,1),所以y2x>yx;

同理yx1x=y∈(0,1),所以yx>1x.

综上,1x0,

所以y2x>yx;

因为yx-1x=y-1x>0,

所以yx>1x,所以y2x>yx>1x.

考点二不等式的基本性质

例2(1)若实数a,b满足a0B.a-b1b

答案B

解析由a-b>0,所以|a|>|b|,故C错误;

由a|b|>0,

所以1ab,则ac2>bc2

B.若a>b,则a+c>b+c

C.若a>b>c>0,则ab>a+cb+c

D.若a>b>c>0,则ba-b>ca-c

答案BCD

解析当c=0时,ac2=bc2,故A错误;

由不等式的可加性可知,B正确;

若a>b>c>0,则a-b>0,b+c>0,

∴ab-a+cb+c=a(b+c)-b(a+c)b(b+c)

=c(a-b)b(b+c)>0,

∴ab>a+cb+c,故C正确;

若a>b>c>0,则a-b>0,a-c>0,b-c>0,且a-c>a-b,

∴1a-b>1a-c>0,

又b>c>0,由可乘性知,

ba-b>ca-c,故D正确.

思维建模解决此类题目常用的三种方法:

(1)直接利用不等式的性质逐个验证,要特别注意前提条件;

(2)利用特殊值排除法;

(3)利用函数的单调性,当直接利用不等式的性质不能比较大小时,可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断.

训练2(1)设a,b,c,d为实数,且c0

C.a-1a>b-1bD.lna2>lnb2

答案AC

解析由1a0,

所以1a+b0,

则1a+b-a>0,

故-b>|a|,即|a|+b-1b>0,

所以a-1a>b-1b,故C正确;

D中,因为ba2>0,而y=lnx在定义域(0,+∞)上单调递增,

所以lnb2>lna2,故D错误.

考点三不等式性质的应用

例3(1)(2025·西安质测)已知-10,b>0,M=a+b,N=a+b,则M与N的大小关系为()

A.M>N

B.Mb,1a0B.ab0D.a+bb,所以b-a0.

3.已知ab=1,M=11+a+11+b,N=a1+a+b1+b,则M与N的大小关系是()

A.M>NB.Mb>0>c,则()

A.ac>bc

B.a(b-c)2ab-2ac+2bc

答案C

解析对于A,a>b,cb>0>c,则c0,故B错误;

对于C,a>b>0>c,则a+c2>b+c2>0,则1a+c2bc

C.1a0,所以ac-b,所以c-a>c-b>0,

所以c-ac-b>1,故D错误.

7.已知m5=4,n8=9,0.9p=0.8,则正数m,n,p的大小关系为()

A.p>m>nB.m>n>p

C.m>p>nD.p>n>m

答案A

解析由m5=4,得m=415=2251,即2>m>n,

由0.9p=0.8,得p=log0.90.8>log0.90.81=2,

于是得p>m>n,

所以正数m,n,p的大小关系为p>m>n.

8.(2025·沈阳模拟)实数x,y满足2x+y=1.若|2y-1|-2|x|14时,原不等式可化为4x-1-2xb>0,则下列不等式中正确的是()

A.1aln|b-1|

D.2a-b>1

答案ABD

解析因为a>b>0,1ab>0,所以aab>bab,

即1ab>0,-a0,

所以2a-b>20=1,故D正确.

10.已知实数x,y满足-3b>c,且abc=1,则下列说法正确的是()

A.(a+c)2>1bB.1a-cb2D.(a2b-1)(ab2-1)>0

答案ABD

解析对A,根据a,b,c满足a>b>c,

且abc=1可知a>0,且a,b,c均不等于0,

当b1b显然成立,

当b>0时,a,c均为正数,

由基本不等式可得(a+c)2≥4ac=4abcb=4b>1b,故A正确;

对B,因为a>b>c,故a-c>b-c>0,

故1a-cb>c且abc=1,但a2>b2不成立,故C错...