第3节 函数的奇偶性、周期性

课标要求1.了解函数奇偶性的含义,了解函数的周期性及其几何意义.2.会依据函数的性质进行简单的应用.



【知识梳理】

1.函数的奇偶性

奇偶性

定义

图象特点

偶函数

一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果?x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数

关于y轴对称

奇函数

一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果?x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数

关于原点对称

2.周期性

(1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函数y=f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.

(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

[常用结论与微点提醒]

1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.

2.函数周期性常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x:

(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0).

(2)若f(x+a)=1f(x),则T=2a(a>0).

【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)函数y=x2在x∈(0,+∞)上是偶函数.()

(2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0.()

(3)若T是函数f(x)的一个周期,且f(x)的定义域为R,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数f(x)的周期.()

(4)对于函数y=f(x),若存在x,使f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)一定是奇函数.()

答案(1)×(2)×(3)√(4)×

解析(1)由于偶函数的定义域关于原点对称,故y=x2在(0,+∞)上不具有奇偶性,(1)错误.

(2)由奇函数定义可知,若f(x)为奇函数,且在x=0处有意义时才满足f(0)=0,(2)错误.

(4)反例:f(x)=x3,x∈[-3,5],存在x=1,使f(-1)=-f(1),但f(x)既不是奇函数,也不是偶函数,(4)错误.

2.(苏教必修一P124例1改编)(多选)给出下列函数,其中是奇函数的有()

A.f(x)=x4B.f(x)=x5

C.f(x)=x+1xD.f(x)=1x2

答案BC

解析对于f(x)=x4,f(x)的定义域为R,

由f(-x)=(-x)4=x4=f(x),

可知f(x)=x4是偶函数,

同理可知f(x)=x5,f(x)=x+1x是奇函数,f(x)=1x2是偶函数.

3.(人教A必修一P85练习T1改编)设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)0;

当20.

综上,f(x)0;

(3)f(x)=log2(x+x2+1).

解(1)由3-x2≥0,x2-3≥0,

得x2=3,解得x=±3,

即函数f(x)的定义域为{-3,3},

从而f(x)=3-x2+x2-3=0.

因此f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x),

所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数.

(2)显然函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.

因为当x0,

则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x);

当x>0时,-x0时,f(x)=x+1,则当x0.

f(x)=-f(-x)=-(-x+1)=x-1.

(2)(2024·邯郸二模)已知b>0,函数f(x)=a+4bx2x是奇函数,则a=,b=.

答案-11

解析根据题意,函数f(x)=a+4bx2x是奇函数,其定义域为R,

则有f(0)=0,f(1)=-f(-1),

即a+4020=0,a+4b2=-a+4-b2-1,解得a=-1,b=1.

当a=-1,b=1时,f(x)=-1+4x2x=2x-2-x,

其定义域为R,

且f(-x)=2-x-2x=-f(x),

即f(x)为奇函数,故a=-1,b=1.

角度2奇偶性与单调性

例3(1)(2025·大连调研)已知函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,且f(x)在[-2,0]上单调递增.若f(2t-1)+f(t)g(1)>g(2),

所以f(g(1))g(f(2)),g(g(1))|f(2)|,则f(f(1))>f(f(2)),A错误.

思维建模1.利用函数的奇偶性可求函数值或参数的取值,求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式,利用方程思想求参数的值.

2.比较大小,利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上,进而利用其单调性比较大小.

3.解抽象函数不等式,先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x)),利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉,得到具体的不等式(组).

训练2(1)(2025·东北三省三校模拟)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当xf(g(x1)),所以f(g(x))在[0,+∞)上单调递增,故A错误;

设x1g(x2)≥0,

g(g(x1))g(f(x2)),所以g(f(x))在[0,+∞)上单调递减,故C正确;

取f(x)=x2-1,则f(f(x))=(x2-1)2-1,f(f(0))=0,f(f(-1))=-1,此时f(f(x))在(-∞,0]上不单调递减,故D错误.

(3)函数f(x)是定义域为R的奇函数,f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(2)=0.则不等式f(x)-2f(-x)x>0的解集为.

答案(-∞,-2)∪(2,+∞)

解析由于f(x)是定义域为R的奇函数,

所以f(0)=0,

又f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(2)=0,

所以f(x)的大致图象如图所示.



由f(-x)=-f(x)可得,

f(x)-2f(-x)x=f(x)+2f(x)x=3f(x)x>0,

由于x在分母位置,所以x≠0,

当x0时,只需f(x)>0,由图象可知x>2;

综上,不等式的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞).

考点三函数的周期性及应用

例4(1)若函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x4-2x,则f(23)=()

A.-1B.-12

C.0D.12

答案B

解析由f(x+2)=-f(x),可得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

所以f(x)是周期为4的周期函数,f(23)=f(23-4×6)=f(-1).

因为f(-1+2)=-f(-1),

且当x∈[0,1]时,f(x)=x4-2x,所以f(-1)=-f(1)=-14-2×1=-12,故选B.

(2)设f(x)是定义在R上周期为4的偶函数,且当x∈[0,2]时,f(x)=log2(x+1),则函数f(x)在[2,4]上的解析式为.

答案f(x)=log2(5-x),x∈[2,4]

解析根据题意,设x∈[2,4],

则x-4∈[-2,0],则有4-x∈[0,2],

又x∈[0,2]时,f(x)=log2(x+1),

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