第3节 和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式（2026版创新设计高考数学总复习配套word文档教师版） 人教版
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文件简介::
第3节 和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式
课标要求1.会推导两角差的余弦公式.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系,并会简单应用.
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α-β):
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;
(2)公式C(α+β):
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;
(3)公式S(α-β):
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ;
(4)公式S(α+β):
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;
(5)公式T(α-β):tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ;
(6)公式T(α+β):tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ.
2.辅助角公式
asinα+bcosα=a2+b2sin(α+φ),其中sinφ=ba2+b2,cosφ=aa2+b2.
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α:sin2α=2sinαcosα.
(2)公式C2α:cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
(3)公式T2α:tan2α=2tanα1-tan2α.
[常用结论与微点提醒]
1.两角和与差的公式的常用变形:
(1)sinαsinβ+cos(α+β)=cosαcosβ;
(2)cosαsinβ+sin(α-β)=sinαcosβ;
(3)tanα±tanβ=tan(α±β)(1?tanαtanβ),
tanαtanβ=1-tanα+tanβtan(α+β)=tanα-tanβtan(α-β)-1.
2.降幂公式:cos2α=1+cos2α2,sin2α=1-cos2α2,
tan2α=1-cos2α1+cos2α.
3.升幂公式:1+cos2α=2cos2α,
1-cos2α=2sin2α,
1±sin2α=(sinα±cosα)2.
【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.()
(2)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立.()
(3)存在实数α,使tan2α=2tanα.()
(4)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求得来的.()
答案(1)√(2)√(3)√(4)√
2.(人教A必修一P223T2改编)已知sin(α-π)=35,则cos2α=.
答案725
解析sin(α-π)=-sinα=35,故sinα=-35,
所以cos2α=1-2sin2α=1-2×-352=725.
3.(苏教必修二P55例2改编)求值cos15°=.
答案2+64
解析cos15°=cos(60°-45°)
=cos60°cos45°+sin60°sin45°=2+64.
4.(北师大必修二P156例4改编)已知tanα=2,tanβ=-13,则tan(α-β)=.
答案7
解析tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ
=2--131+2×-13=7.
考点一公式的基本应用
例1(1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tanαtanβ=2,则cos(α-β)=()
A.-3mB.-m3
C.m3D.3m
答案A
解析由cos(α+β)=m得
cosαcosβ-sinαsinβ=m.①
由tanαtanβ=2得sinαsinβcosαcosβ=2,②
由①②得cosαcosβ=-m,sinαsinβ=-2m,
所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-3m,故选A.
(2)(2024·全国甲卷)已知cosαcosα-sinα=3,则tanα+π4=()
A.23+1B.23-1
C.32D.1-3
答案B
解析根据题意有cosα-sinαcosα=33,
即1-tanα=33,所以tanα=1-33,
所以tanα+π4=tanα+11-tanα=2-3333=23-1,故选B.
思维建模三角函数公式的应用策略
(1)使用两角和、差及倍角公式时,首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为:“同名相乘,符号反”.
(2)使用公式求值,应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.
训练1(1)(2025·石家庄质检)已知sinπ6+α=23,则cos2α+4π3的值为()
A.59B.-59
C.13D.-13
答案B
解析cos2α+4π3=cos2α+π3+π
=-cos2α+π3=2sin2α+π6-1=-59.
(2)计算:cos55°+sin25°cos60°cos25°=()
A.-32B.32
C.-12D.12
答案B
解析cos55°+sin25°cos60°cos25°
=cos(30°+25°)+12sin25°cos25°
=32cos25°-12sin25°+12sin25°cos25°=32.
考点二公式的逆用及变形
例2(1)(多选)(2025·合肥质检)下列代数式的值为14的是()
A.cos275°-sin275°
B.tan15°1+tan215°
C.cos36°cos72°
D.2cos20°cos40°cos80°
答案BCD
解析对于A,cos275°-sin275°=cos150°=cos(180°-30°)=-cos30°=-32;
对于B,tan15°1+tan215°=sin15°cos15°1+sin215°cos215°
=sin15°cos15°cos215°+sin215°=12sin30°=14;
对于C,cos36°cos72°
=sin36°cos36°cos72°sin36°=12sin72°cos72°sin(180°-144°)
=14·sin144°sin144°=14;
对于D,2cos20°cos40°cos80°
=2cos20°sin20°cos40°cos80°sin20°
=sin40°cos40°cos80°sin20°
=12sin80°cos80°sin(180°-160°)=14·sin160°sin160°=14.
(2)tan70°+tan50°-3tan70°tan50°=.
答案-3
解析因为tan(70°+50°)=tan70°+tan50°1-tan70°tan50°=tan120°=-3,
所以tan70°+tan50°=-3+3tan70°tan50°,
所以tan70°+tan50°-3tan70°tan50°=-3.
思维建模三角函数公式的活用技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,角之间的关系,创造条件逆用公式.
(2)注意特殊角的应用,当式子中出现12,1,32,3等这些数值时,一定要考虑引入特殊角,把“值变角”以便构造适合公式的形式.
(3)tanαtanβ,tanα+tanβ(或tanα-tanβ),tan(α+β)(或tan(α-β))三者可以知二求一,注意公式的正用、逆用和变形使用.
训练2(1)sin2α-π6+sin2α+π6-sin2α等于()
A.-12B.-32
C.12D.32
答案C
解析原式=1-cos2α-π32+1-cos2α+π32-sin2α
=1-12·cos2α-π3+cos2α+π3-sin2α
=1-cos2αcosπ3-sin2α
=1-cos2α2-1-cos2α2=12.
(2)化简:cos40°(1+3tan10°)=.
答案1
解析cos40°(1+3tan10°)
=cos40°1+3sin10°cos10°
=cos40°·cos10°+3sin10°cos...
课标要求1.会推导两角差的余弦公式.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系,并会简单应用.
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α-β):
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;
(2)公式C(α+β):
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;
(3)公式S(α-β):
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ;
(4)公式S(α+β):
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;
(5)公式T(α-β):tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ;
(6)公式T(α+β):tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ.
2.辅助角公式
asinα+bcosα=a2+b2sin(α+φ),其中sinφ=ba2+b2,cosφ=aa2+b2.
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α:sin2α=2sinαcosα.
(2)公式C2α:cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
(3)公式T2α:tan2α=2tanα1-tan2α.
[常用结论与微点提醒]
1.两角和与差的公式的常用变形:
(1)sinαsinβ+cos(α+β)=cosαcosβ;
(2)cosαsinβ+sin(α-β)=sinαcosβ;
(3)tanα±tanβ=tan(α±β)(1?tanαtanβ),
tanαtanβ=1-tanα+tanβtan(α+β)=tanα-tanβtan(α-β)-1.
2.降幂公式:cos2α=1+cos2α2,sin2α=1-cos2α2,
tan2α=1-cos2α1+cos2α.
3.升幂公式:1+cos2α=2cos2α,
1-cos2α=2sin2α,
1±sin2α=(sinα±cosα)2.
【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.()
(2)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立.()
(3)存在实数α,使tan2α=2tanα.()
(4)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求得来的.()
答案(1)√(2)√(3)√(4)√
2.(人教A必修一P223T2改编)已知sin(α-π)=35,则cos2α=.
答案725
解析sin(α-π)=-sinα=35,故sinα=-35,
所以cos2α=1-2sin2α=1-2×-352=725.
3.(苏教必修二P55例2改编)求值cos15°=.
答案2+64
解析cos15°=cos(60°-45°)
=cos60°cos45°+sin60°sin45°=2+64.
4.(北师大必修二P156例4改编)已知tanα=2,tanβ=-13,则tan(α-β)=.
答案7
解析tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ
=2--131+2×-13=7.
考点一公式的基本应用
例1(1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tanαtanβ=2,则cos(α-β)=()
A.-3mB.-m3
C.m3D.3m
答案A
解析由cos(α+β)=m得
cosαcosβ-sinαsinβ=m.①
由tanαtanβ=2得sinαsinβcosαcosβ=2,②
由①②得cosαcosβ=-m,sinαsinβ=-2m,
所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-3m,故选A.
(2)(2024·全国甲卷)已知cosαcosα-sinα=3,则tanα+π4=()
A.23+1B.23-1
C.32D.1-3
答案B
解析根据题意有cosα-sinαcosα=33,
即1-tanα=33,所以tanα=1-33,
所以tanα+π4=tanα+11-tanα=2-3333=23-1,故选B.
思维建模三角函数公式的应用策略
(1)使用两角和、差及倍角公式时,首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为:“同名相乘,符号反”.
(2)使用公式求值,应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.
训练1(1)(2025·石家庄质检)已知sinπ6+α=23,则cos2α+4π3的值为()
A.59B.-59
C.13D.-13
答案B
解析cos2α+4π3=cos2α+π3+π
=-cos2α+π3=2sin2α+π6-1=-59.
(2)计算:cos55°+sin25°cos60°cos25°=()
A.-32B.32
C.-12D.12
答案B
解析cos55°+sin25°cos60°cos25°
=cos(30°+25°)+12sin25°cos25°
=32cos25°-12sin25°+12sin25°cos25°=32.
考点二公式的逆用及变形
例2(1)(多选)(2025·合肥质检)下列代数式的值为14的是()
A.cos275°-sin275°
B.tan15°1+tan215°
C.cos36°cos72°
D.2cos20°cos40°cos80°
答案BCD
解析对于A,cos275°-sin275°=cos150°=cos(180°-30°)=-cos30°=-32;
对于B,tan15°1+tan215°=sin15°cos15°1+sin215°cos215°
=sin15°cos15°cos215°+sin215°=12sin30°=14;
对于C,cos36°cos72°
=sin36°cos36°cos72°sin36°=12sin72°cos72°sin(180°-144°)
=14·sin144°sin144°=14;
对于D,2cos20°cos40°cos80°
=2cos20°sin20°cos40°cos80°sin20°
=sin40°cos40°cos80°sin20°
=12sin80°cos80°sin(180°-160°)=14·sin160°sin160°=14.
(2)tan70°+tan50°-3tan70°tan50°=.
答案-3
解析因为tan(70°+50°)=tan70°+tan50°1-tan70°tan50°=tan120°=-3,
所以tan70°+tan50°=-3+3tan70°tan50°,
所以tan70°+tan50°-3tan70°tan50°=-3.
思维建模三角函数公式的活用技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,角之间的关系,创造条件逆用公式.
(2)注意特殊角的应用,当式子中出现12,1,32,3等这些数值时,一定要考虑引入特殊角,把“值变角”以便构造适合公式的形式.
(3)tanαtanβ,tanα+tanβ(或tanα-tanβ),tan(α+β)(或tan(α-β))三者可以知二求一,注意公式的正用、逆用和变形使用.
训练2(1)sin2α-π6+sin2α+π6-sin2α等于()
A.-12B.-32
C.12D.32
答案C
解析原式=1-cos2α-π32+1-cos2α+π32-sin2α
=1-12·cos2α-π3+cos2α+π3-sin2α
=1-cos2αcosπ3-sin2α
=1-cos2α2-1-cos2α2=12.
(2)化简:cos40°(1+3tan10°)=.
答案1
解析cos40°(1+3tan10°)
=cos40°1+3sin10°cos10°
=cos40°·cos10°+3sin10°cos...
