第3节 导数中的函数构造问题

题型分析函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容,经常以客观题出现,同构法构造函数也在解答题中出现,通过已知等式或不等式的结构特征,构造新函数,解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.

题型一通过导数的运算法则构造

角度1利用f(x)与ex构造

例1(2025·南通、连云港联考)已知函数f(x)的定义域为R,对任意x∈R,有f'(x)-f(x)>0,则“xex+1f(2x-3)”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.既不充分又不必要条件

D.充要条件

答案A

解析因为f'(x)-f(x)>0,

所以f'(x)-f(x)ex>0.

令g(x)=f(x)ex,则g'(x)=f'(x)-f(x)ex>0,

所以g(x)在R上单调递增.

e2x-3f(x+1)>ex+1f(2x-3)?f(x+1)ex+1>f(2x-3)e2x-3?g(x+1)>g(2x-3)?x+1>2x-3?xex+1f(2x-3)”的充分不必要条件,故选A.

思维建模(1)出现f'(x)+nf(x)形式,构造函数F(x)=enxf(x).

(2)出现f'(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=f(x)enx.

角度2利用f(x)与xn构造

例2(多选)(2025·六安质检)已知函数f(x)的导函数为f'(x),对任意的正数x,都满足f(x)0),

则g'(x)=xf'(x)-f(x)x2>0,

所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,

由g(1)>g12得f(1)>2f12,故A错误;

由g(1)0),

则h'(x)=(f'(x)-2)x2-(f(x)-2x)·2xx4

=xf'(x)-(2f(x)-2x)x3h(2)得f(1)>14f(2)+1,故D错误.

思维建模1.出现nf(x)+xf'(x)形式,构造函数F(x)=xnf(x);

2.出现xf'(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=f(x)xn.

角度3利用f(x)与sinx,cosx构造

例3(多选)(2025·长沙调研)已知函数y=f(x)对任意x∈-π2,π2满足f'(x)cosx+f(x)sinx>0(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式成立的是()

A.f(0)>2fπ4

B.2fπ3>fπ4

C.f(0)>2fπ3

D.2f-π30,

故函数F(x)在-π2,π2上单调递增.

由F(0)Fπ4得fπ3cosπ3>fπ4cosπ4,

即2fπ3>fπ4,B正确;

由F(0)f(x),对任意正实数a,下列式子一定成立的是()

A.f(a)eaf(0)

C.f(a)f(0)ea

答案B

解析令g(x)=f(x)ex,

则g'(x)=f'(x)-f(x)ex>0.

∴g(x)在R上为增函数,

又a>0,∴g(a)>g(0),

即f(a)ea>f(0)e0,故f(a)>eaf(0).

(2)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),其导函数为f'(x),若xf'(x)-1e,得x>1.

∴关于x的不等式f(ex)f(x)cosx,设a=2fπ6,b=2fπ4,c=fπ2,则a,b,c的大小关系为.

答案a0.

所以函数F(x)在(0,π)上单调递增,

于是Fπ6b>aB.b>a>c

C.a>b>cD.b>c>a

答案C

解析由ae=ea,be1.2=1.2eb,ce1.6=1.6ec,

得aea=1e,beb=1.2e1.2,cec=1.6e1.6.

令f(x)=xex,则f'(x)=1-xex,

当x0,

当x>1时,f'(x)f(1.2)>f(1.6),

即f(a)>f(b)>f(c),

又a,b,c∈[0,1],所以a>b>c.

思维建模若题目所给的条件含有两个变量,可通过变形使两个变量分别置于等号或不等号两边,即可构造函数,并且利用函数的单调性求解.

训练2(多选)(2025·江西名校联考)已知x,y∈R,若2(e2y-ex)=(y-x)(y+x+2),则下列关系式能成立的是()

A.y>x>0B.x>y>0

C.x0时,g'(x)>0.

所以g(x)在(-∞,0)上单调递减,

在(0,+∞)上单调递增,

所以g(x)≥g(0)=0,

即f'(x)≥0恒成立,所以f(x)单调递增.

当y>0时,ex-x22-x=e2y-y22-y>ey-y22-y,

即f(x)>f(y),所以x>y>0,

故B成立,A不成立.

当y1-0.1=910,

于是e0.1f(0)=0,

即0.1e0.1+ln0.9>0,所以a>c.

故c0),当且仅当x=1时等号成立;

(2)ex≥x+1,当且仅当x=0时等号成立;

(3)lnx≤12x-1x(x≥1),当且仅当x=1时等号成立.

因为0.1=1-910e0.1,所以a=0.1e0.10.1×(0.1+1)=0.11,

c=ln109a>c.

思维建模当要比较的各数为某些函数的函数值时,要仔细观察这些数值的共同之处,构造一个或两个函数,使要比较的数成为该函数的函数值,然后利用函数的单调性比较大小.

训练3实数e3,3π,π3的大小关系为.

答案e3e时,f'(x)f(π),即ln33>lnππ,

所以πln3>3lnπ,

所以ln3π>lnπ3,即3π>π3.

因为y=x3在(0,+∞)上单调递增,e-f(x)在R上恒成立,且a>b,则()

A.af(b)>bf(a)B.af(a)>bf(b)

C.af(a)0,

所以g(x)在R上是增函数,

又a>b,所以g(a)>g(b),

即af(a)>bf(b),故选B.

2.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),对任意x∈R,满足f(x)+f'(x)e3f(3)B.e2f(2)e2f(3)D.e3f(2)g(3),

∴e2f(2)>e3f(3).无法判断C,D的正误.

3.(2025·衡阳调研)已知函数f(x)的定义域为R,设f(x)的导函数是f'(x),且f(x)·f'(x)+sinx>0恒成立,则()

A.fπ2f-π2

C.fπ2f-π2

答案D

解析设g(x)=f2(x)-2cosx,

则g'(x)=2f(x)·f'(x)+2sinx>0,

故g(x)在定义域R上是增函数,

所以gπ2>g-π2,

即f2π2>f2-π2,

所以fπ2>f-π2.

4.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f'(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为()

A.(-1,1)B.(-1,+∞)

C.(-∞,-1)D.(-∞,+∞)

答案B

解析∵f(x)>2x+4,∴f(x)-2x-4>0,

令g(x)=f(x)-2x-4,

则g'(x)=f'(x)-2>0,

∴g(x)为R上的增函数,

又∵g(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=0.

∴由g(x)>g(-1)=0得x>-1.

5.已知f(x)是定义在R上的可导函数,其导函数为f'(x).若对任意x∈R,有f'(x)>1,f(1+x)+f(1-x)=0,且f(0)=-2,则不等式f(x-1)>x-1的解集为()

A.(0,+∞)B.(1,+∞)

C.(2,+∞)D.(3,+∞)

答案D

解析法一∵f(1+x)+f(1-x)=0,

f(0)=-2,∴令x=1得f(2)=2.

设g(x)=f(x)-x,则g'(x)=f'(x)-1>0,

∴g(x)在R上单调递增,

且g(2)=f(2)-2...