第3节 平面向量的数量积及其应用（2026版创新设计高考数学总复习配套word文档教师版） 人教版
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第3节 平面向量的数量积及其应用
课标要求1.理解平面向量数量积的含义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.
【知识梳理】
1.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角:已知两个非零向量a和b,O是平面上的任意一点,作OA=a,OB=b,则
∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
(2)数量积的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ.规定:零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0.
(3)投影向量
如图,在平面内任取一点O,作OM=a,ON=b,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则OM1就是向量a在向量b上的投影向量.
设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,则OM1与e,a,θ之间的关系为OM1=|a|cosθe.
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角.
(1)数量积:a·b=|a||b|cosθ=x1x2+y1y2.
(2)模:|a|=a·a=x12+y12.
(3)夹角:cosθ=a·b|a||b|=x1x2+y1y2x12+y12·x22+y22.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件:a·b=0?x1x2+y1y2=0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x1x2+y1y2|≤x12+y12·x22+y22.
3.平面向量数量积的运算律
(1)a·b=b·a(交换律).
(2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律).
(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
4.平面几何中的向量方法
三步曲:(1)用向量表示问题中的几何元素,将几何问题转化为向量问题;
(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系;
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
[常用结论与微点提醒]
1.有关向量夹角的两个结论
已知向量a,b
(1)若a与b的夹角为锐角,则a·b>0;
若a·b>0,则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角,则a·b=|a||c|·cos,所以向量b和c不一定相等.
2.(人教A必修二P35例11改编)设a=(5,-7),b=(-6,-4),设a,b的夹角为θ,则cosθ=.
答案-962962
解析cosθ=a·b|a||b|=-30+2874×52=-962962.
3.(苏教必修二P47T12改编)已知|a|=3,|b|=4,且a与b不共线,若(a+kb)⊥(a-kb),则实数k=.
答案±34
解析由题意知(a+kb)·(a-kb)=a2-k2b2=9-16k2=0,解得k=±34.
4.(北师大必修二P113练习T2(2)改编)已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,则(2a-b)·(a+3b)=.
答案84
解析(2a-b)·(a+3b)
=2|a|2+5a·b-3|b|2
=2×36+5×6×4×12-3×16=84.
考点一数量积的计算
例1(1)(2025·北京延庆区模拟)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足AP=12(AC+AD),则AP·AC=()
A.4B.5
C.6D.8
答案C
解析以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,正方形ABCD的边长为2,
则A(0,0),C(2,2),D(0,2),
可得AC=(2,2),AD=(0,2),
点P满足AP=12(AC+AD)=(1,2),
所以AP·AC=1×2+2×2=6.
(2)(2025·武汉质检)如图,B,D是以AC为直径的圆上的两点,其中AB=t+1,AD=t+2,则AC·BD=()
A.1B.2
C.tD.2t
答案A
解析如图所示,连接BC,CD,
则AD⊥CD,AB⊥BC.
所以AB·AC
=|AB|·|AC|·cos∠BAC
=|AB|·(|AC|·cos∠BAC)=|AB|2=t+1.
AD·AC=|AD|·|AC|cos∠CAD
=|AD|·(|AC|·cos∠CAD)=|AD|2=t+2.
因为BD=AD-AB,
所以AC·BD=AC·(AD-AB)
=AC·AD-AC·AB
=t+2-(t+1)=1.
思维建模计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义:a·b=|a||b|cos.
(2)利用坐标运算,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.
(3)利用基底法求数量积.
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义.
训练1(1)(2025·1月八省联考)已知向量a=(0,1),b=(1,0),则a·(a-b)=()
A.2B.1
C.0D.-1
答案B
解析由已知得,a·(a-b)=(0,1)·(-1,1)=1.
(2)(2025·泉州调研)已知正方形ABCD的边长为2,若BP=PC,则AP·BD=()
A.2B.-2
C.4D.-4
答案B
解析以点A为坐标原点建立平面直角坐标系,
如图所示,则B(2,0),D(0,2),C(2,2),
由BP=PC可得P为BC的中点,所以P(2,1),则AP=(2,1),
又BD=(-2,2),所以AP·BD=2×(-2)+1×2=-2.
(3)(2025·宁波调研)已知△ABC的外接圆圆心为O,AO=12(AB+AC),|OA|=|AB|,则AC在BC上的投影向量为()
A.-34BCB.34BC
C.-34BCD.34BC
答案D
解析因为AO=12(AB+AC),
所以△ABC外接圆圆心O为BC的中点,
即BC为外接圆的直径,如图,
又|AB|=|OA|,
所以△ABO为等边三角形,
则∠ACB=30°,
故|AC|=|BC|cos30°,
所以向量AC在向量BC上的投影向量为
|AC|cos30°·BC|BC|=|BC|·BC|BC|=34BC.
考点二数量积的应用
角度1夹角与垂直
例2(1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=()
A.-2B.-1
C.1D.2
答案D
解析法一因为b⊥(b-4a),
所以b·(b-4a)=0,即b2=4a·b.
因为a=(0,1),b=(2,x),
所以b2=4+x2,a·b=x,
得4+x2=4x,所以(x-2)2=0,
解得x=2,故选D.
法二因为a=(0,1),b=(2,x),
所以b-4a=(2,x)-4(0,1)=(2,x)-(0,4)=(2,x-4).
因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,
所以2×2+x(x-4)=0,
所以(x-2)2=0,解得x=2,故选D.
(2)(2023·全国甲卷)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=2,且a+b+c=0,则cos=()
课标要求1.理解平面向量数量积的含义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.
【知识梳理】
1.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角:已知两个非零向量a和b,O是平面上的任意一点,作OA=a,OB=b,则
∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
(2)数量积的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ.规定:零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0.
(3)投影向量
如图,在平面内任取一点O,作OM=a,ON=b,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则OM1就是向量a在向量b上的投影向量.
设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,则OM1与e,a,θ之间的关系为OM1=|a|cosθe.
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角.
(1)数量积:a·b=|a||b|cosθ=x1x2+y1y2.
(2)模:|a|=a·a=x12+y12.
(3)夹角:cosθ=a·b|a||b|=x1x2+y1y2x12+y12·x22+y22.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件:a·b=0?x1x2+y1y2=0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x1x2+y1y2|≤x12+y12·x22+y22.
3.平面向量数量积的运算律
(1)a·b=b·a(交换律).
(2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律).
(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
4.平面几何中的向量方法
三步曲:(1)用向量表示问题中的几何元素,将几何问题转化为向量问题;
(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系;
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
[常用结论与微点提醒]
1.有关向量夹角的两个结论
已知向量a,b
(1)若a与b的夹角为锐角,则a·b>0;
若a·b>0,则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角,则a·b=|a||c|·cos,所以向量b和c不一定相等.
2.(人教A必修二P35例11改编)设a=(5,-7),b=(-6,-4),设a,b的夹角为θ,则cosθ=.
答案-962962
解析cosθ=a·b|a||b|=-30+2874×52=-962962.
3.(苏教必修二P47T12改编)已知|a|=3,|b|=4,且a与b不共线,若(a+kb)⊥(a-kb),则实数k=.
答案±34
解析由题意知(a+kb)·(a-kb)=a2-k2b2=9-16k2=0,解得k=±34.
4.(北师大必修二P113练习T2(2)改编)已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,则(2a-b)·(a+3b)=.
答案84
解析(2a-b)·(a+3b)
=2|a|2+5a·b-3|b|2
=2×36+5×6×4×12-3×16=84.
考点一数量积的计算
例1(1)(2025·北京延庆区模拟)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足AP=12(AC+AD),则AP·AC=()
A.4B.5
C.6D.8
答案C
解析以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,正方形ABCD的边长为2,
则A(0,0),C(2,2),D(0,2),
可得AC=(2,2),AD=(0,2),
点P满足AP=12(AC+AD)=(1,2),
所以AP·AC=1×2+2×2=6.
(2)(2025·武汉质检)如图,B,D是以AC为直径的圆上的两点,其中AB=t+1,AD=t+2,则AC·BD=()
A.1B.2
C.tD.2t
答案A
解析如图所示,连接BC,CD,
则AD⊥CD,AB⊥BC.
所以AB·AC
=|AB|·|AC|·cos∠BAC
=|AB|·(|AC|·cos∠BAC)=|AB|2=t+1.
AD·AC=|AD|·|AC|cos∠CAD
=|AD|·(|AC|·cos∠CAD)=|AD|2=t+2.
因为BD=AD-AB,
所以AC·BD=AC·(AD-AB)
=AC·AD-AC·AB
=t+2-(t+1)=1.
思维建模计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义:a·b=|a||b|cos.
(2)利用坐标运算,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.
(3)利用基底法求数量积.
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义.
训练1(1)(2025·1月八省联考)已知向量a=(0,1),b=(1,0),则a·(a-b)=()
A.2B.1
C.0D.-1
答案B
解析由已知得,a·(a-b)=(0,1)·(-1,1)=1.
(2)(2025·泉州调研)已知正方形ABCD的边长为2,若BP=PC,则AP·BD=()
A.2B.-2
C.4D.-4
答案B
解析以点A为坐标原点建立平面直角坐标系,
如图所示,则B(2,0),D(0,2),C(2,2),
由BP=PC可得P为BC的中点,所以P(2,1),则AP=(2,1),
又BD=(-2,2),所以AP·BD=2×(-2)+1×2=-2.
(3)(2025·宁波调研)已知△ABC的外接圆圆心为O,AO=12(AB+AC),|OA|=|AB|,则AC在BC上的投影向量为()
A.-34BCB.34BC
C.-34BCD.34BC
答案D
解析因为AO=12(AB+AC),
所以△ABC外接圆圆心O为BC的中点,
即BC为外接圆的直径,如图,
又|AB|=|OA|,
所以△ABO为等边三角形,
则∠ACB=30°,
故|AC|=|BC|cos30°,
所以向量AC在向量BC上的投影向量为
|AC|cos30°·BC|BC|=|BC|·BC|BC|=34BC.
考点二数量积的应用
角度1夹角与垂直
例2(1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=()
A.-2B.-1
C.1D.2
答案D
解析法一因为b⊥(b-4a),
所以b·(b-4a)=0,即b2=4a·b.
因为a=(0,1),b=(2,x),
所以b2=4+x2,a·b=x,
得4+x2=4x,所以(x-2)2=0,
解得x=2,故选D.
法二因为a=(0,1),b=(2,x),
所以b-4a=(2,x)-4(0,1)=(2,x)-(0,4)=(2,x-4).
因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,
所以2×2+x(x-4)=0,
所以(x-2)2=0,解得x=2,故选D.
(2)(2023·全国甲卷)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=2,且a+b+c=0,则cos=()