第3节 等比数列及其前n项和

课标要求1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.



【知识梳理】

1.等比数列的概念

(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示(显然q≠0).

数学语言表达式:anan-1=q(n≥2,q为非零常数).

(2)等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,则G2=ab.

2.等比数列的通项公式及前n项和公式

(1)若等比数列{an}的首项为a1,公比是q,则其通项公式为an=a1qn-1;

通项公式的推广:an=amqn-m.

(2)等比数列的前n项和公式:当q=1时,Sn=na1;当q≠1时,Sn=a1(1-qn)1-q=a1-anq1-q.

3.等比数列的性质

已知{an}是等比数列,Sn是数列{an}的前n项和.

(1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则有ak·al=am·an.

(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,ak+m,ak+2m,…仍是等比数列,公比为qm.

(3)当q≠-1,或q=-1且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍成等比数列,其公比为qn.

(4)当q>1,a1>0或01,a10时,{an}是递减数列.

[常用结论与微点提醒]

1.若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则数列{c·an}(c≠0),{|an|},{an2},1an,{an·bn},anbn也是等比数列.

2.数列{an}是等比数列,Sn是其前n项和.

(1)若a1·a2·…·an=Tn,则Tn,T2nTn,T3nT2n,…成等比数列.

(2)若数列{an}的项数为2n,则S偶S奇=q;若项数为2n+1,则S奇-a1S偶=q,或S偶S奇-an=q.

3.由an+1=qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证a1≠0.

4.等比数列{an}的前n项和Sn,可以写成Sn=Aqn-A(A≠0,q≠1,0).

5.三个数成等比数列,通常设为xq,x,xq;四个符号相同的数成等比数列,通常设为xq3,xq,xq,xq3.

【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)等比数列的公比q是一个常数,它可以是任意实数.()

(2)三个数a,b,c成等比数列的充要条件是b2=ac.()

(3)数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn=a(1-an)1-a.()

(4)数列{an}为等比数列,则S4,S8-S4,S12-S8成等比数列.()

答案(1)×(2)×(3)×(4)×

解析(1)在等比数列中,q≠0.

(2)若a=0,b=0,c=0满足b2=ac,但a,b,c不成等比数列.

(3)当a=1时,Sn=na.

(4)若a1=1,q=-1,则S4=0,S8-S4=0,S12-S8=0,不成等比数列.

2.(北师大选修二P29例5(2)改编)等比数列1,12,14,18…,前10项的和为.

答案1023512

解析S10=1×1-12101-12=1023512.

3.(人教A选修二P37T3改编)在等比数列{an}中,已知a2=6,6a1+a3=30,则an=.

答案3·2n-1或2·3n-1

解析设数列{an}的公比为q,

由题意得a1q=6,6a1+a1q2=30,

解得q=2,a1=3或q=3,a1=2,

故an=3·2n-1或an=2·3n-1.

4.(人教B选修三P37T5拓展)已知等比数列{an}满足a4+a6=10,a2·a8=2,则1a4+1a6=.

答案5

解析1a4+1a6=a4+a6a4a6=a4+a6a2a8=102=5.



考点一等比数列基本量的求解

例1(1)(多选)(2025·河南部分名校联考)设等比数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n+1+a(a为常数),则()

A.a=-1

B.数列{an}的公比为2

C.an=2n

D.S9=1023

答案BC

解析因为Sn=2n+1+a,

所以a1=4+a,

a2=S2-S1=4,a3=S3-S2=8.

因为{an}是等比数列,所以a22=a1a3,

即42=8(4+a),解得a=-2,则A错误;

数列{an}的公比q=a3a2=2,则B正确;

因为a1=2,公比q=2,所以an=a1qn-1=2n,则C正确;

因为a=-2,所以Sn=2n+1-2,

所以S9=210-2=1022,则D错误.

(2)(多选)(2025·长沙模拟)在《增删算法统宗》中有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,如此六日过其关.”则下列说法正确的是()

A.此人第二天走了九十六里路

B.此人第三天走的路程占全程的18

C.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里

D.此人后三天共走了四十二里路

答案ACD

解析设此人第n天走an里路,

则数列{an}是首项为a1,公比为12的等比数列,

因为S6=378,所以S6=a11-1261-12=378,

解得a1=192.

对于A,由于a2=192×12=96,所以此人第二天走了九十六里路,所以A正确;

对于B,由于a3=192×14=48,48378>18,

所以B不正确;

对于C,由于378-192=186,192-186=6,

所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里,所以C正确;

对于D,a4+a5+a6=378-192-96-48=42,

所以此人后三天共走了四十二里路,

所以D正确.

(3)(2025·淄博模拟)已知等比数列{an}共有2n+1项,a1=1,所有奇数项的和为85,所有偶数项的和为42,则公比q=.

答案2

解析依题意,知a1+a3+a5+…+a2n+1=85,

即a2q+a4q+…+a2nq=84,

而a2+a4+…+a2n=42,所以q=2.

思维建模1.等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.

2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当q=1时,{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时,{an}的前n项和Sn=a1(1-qn)1-q=a1-anq1-q.

训练1(2024·全国甲卷)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=3an+1-3.

(1)求{an}的通项公式;

(2)求数列{Sn}的前n项和.

解(1)因为2Sn=3an+1-3,

所以2Sn+1=3an+2-3,

两式相减可得2an+1=3an+2-3an+1,

即an+2=53an+1,

所以等比数列{an}的公比为53.

因为2S1=3a2-3=5a1-3,

所以a1=1,故an=53n-1.

(2)因为2Sn=3an+1-3,

所以Sn=32(an+1-1)=3253n-1,

设数列{Sn}的前n项和为Tn,

则Tn=...