第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系

课标要求1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.



【知识梳理】

1.直线与圆的位置关系

设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,直线l:Ax+By+C=0,圆心C(a,b)到直线l的距离为d.由(x-a)2+(y-b)2=r2,Ax+By+C=0,消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,其判别式为Δ.

位置关系

相离

相切

相交

图形







量化

方程观点

Δ0



几何观点

d>r

d=r

dr1+r2

d0)相交于点M,N,将直线方程代入圆的方程中,消去y,得关于x的一元二次方程,求出xM+xN和xM·xN,则|MN|=1+k2·(xM+xN)2-4xM·xN.

[常用结论与微点提醒]

1.圆的切线方程常用结论

(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.

(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.

(3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在的直线方程为x0x+y0y=r2.

2.设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,

圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,

(1)若两圆相交,两式相减,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0,该方程表示圆C1与C2的公共弦所在的直线方程.

(2)若两圆相切,两式相减,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0,该方程表示圆C1与C2的公共切线所在的直线方程.

【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)过圆上一点的直线必与圆相交.()

(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切.()

(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.()

(4)过圆O:x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点分别为A,B,则O,P,A,B四点共圆,且直线AB的方程是x0x+y0y=r2.()

答案(1)×(2)×(3)×(4)√

解析(1)过圆上一点的直线与圆相切或相交;(2)除外切外,还可能内切;(3)两圆还可能内切或内含.

2.(苏教选修一P66T2原题)设a,b为实数,若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交,则点P(a,b)与圆的位置关系是()

A.在圆上B.在圆外

C.在圆内D.不能确定

答案B

解析由题意可得1a2+b21,所以P(a,b)在圆外.

3.(北师大选修一P36T2改编)圆x2+y2=5在点P(1,2)处的切线方程为()

A.x-2y+3=0B.2x+y-4=0

C.x+2y-5=0D.2x-y-4=0

答案C

解析圆心为O(0,0),kOP=2,故切线的斜率为-12,故切线方程为y-2=-12(x-1),

即x+2y-5=0.

4.(人教A选修一P93T3改编)直线2x-y+2=0被圆(x-1)2+(y-2)2=4截得的弦长为.

答案855

解析圆心坐标为(1,2),半径r=2.

圆心到直线的距离

d=|2-2+2|22+(-1)2=25=255,

所以弦长l=2r2-d2=24-45=855.



考点一直线与圆的位置关系

例1(1)直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系是()

A.相交B.相切

C.相离D.不确定

答案A

解析法一(代数法)由mx-y+1-m=0,x2+(y-1)2=5,

消去y,整理得(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0,

因为Δ=16m2+20>0,

所以直线l与圆相交.

法二(几何法)由题意知,圆心(0,1)到直线l的距离为d=mm2+1|r|,则直线l与圆C相离,故B正确;

若点A(a,b)在圆C外,则a2+b2>r2,所以d=r2a2+b20)相离,则r的取值范围是()

A.01

答案B

解析圆心到直线的距离为

d=1cos2α+sin2α=1,故00)相交于A,B两点.若|AB|=6,则r的值为.

答案5

解析法一(几何法)由题意知圆心为O(0,0),圆心到直线的距离d=|0-3×0+8|1+3=4.

取AB的中点M,连接OM(图略),则OM⊥AB.

在Rt△OMA中,r=|AB|22+d2=5.

法二(代数法)设A(x1,y1),B(x2,y2),

联立x-3y+8=0,x2+y2=r2,

得4x2+16x+64-3r2=0,

则x1+x2=-4,x1x2=16-34r2.

由|AB|=1+132(-4)2-4×16-34r2=6,解得r=5.

(2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为85”的m的一个值.

答案2(答案不唯一,可以是±12,±2中任意一个)

解析设直线x-my+1=0为直线l,

由条件知☉C的圆心为C(1,0),半径r=2,

则圆心C到直线l的距离d=21+m2,

|AB|=2r2-d2=24-21+m22=4m1+m2.

由S△ABC=85,得12×4m1+m2×21+m2=85,

整理得2m2-5|m|+2=0,

解得m=±2或m=±12,故答案可以为2.

角度2切线问题

例3已知点P(2+1,2-2),点M(3,1),圆C:(x-1)2+(y-2)2=4.

(1)求过点P的圆C的切线方程;

(2)求过点M的圆C的切线方程,并求出切线长.

解由题意得圆心C(1,2),半径r=2.

(1)∵(2+1-1)2+(2-2-2)2=4,

∴点P在圆C上.

又kPC=2-2-22+1-1=-1,

∴切线的斜率k=-1kPC=1.

∴过点P的圆C的切线方程是y-(2-2)=x-(2+1),即x-y+1-22=0.

(2)∵(3-1)2+(1-2)2=5>4,

∴点M在圆C外部.

当过点M的直线斜率不存在时,直线方程为x=3,即x-3=0.

又点C(1,2)到直线x-3=0的距离d=3-1=2=r,即此时满足题意,

∴直线x=3是圆C的切线.

当切线的斜率存在时,

设切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0,

则圆心C到切线的距离d=k-2+1-3kk2+1=r=2,解得k=34.

∴切线方程为y-1=34(x-3),即3x-4y-5=0.

综上可得,过点M的圆C的切线方程为x-3=0或3x-4y-5=0.

∵|MC|=(3-1)2+(1-2)2=5,

∴过点M的圆C的切线长为|MC|2-r2=5-4=1.

角度3最值(范围)问题

例4(1)(2025·杭州调研)由直线y=x+1上的动点P向圆C:(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为.

答案7

解析如图,切线长|PM|=|PC|2-1,显然当|PC|为C到直线y=x+1的距离即|3+...