第4节 空间直线、平面的平行

课标要求1.以立体几何的定义、基本事实和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、面面平行的有关性质与判定定理.2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.



【知识梳理】

1.直线与平面平行

(1)直线与平面平行的定义

直线l与平面α没有公共点,则称直线l与平面α平行.

(2)直线与平面平行的判定定理与性质定理



文字语言

图形表示

符号表示

判定

定理

如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行



a?α,b?α,a∥b?

a∥α

性质

定理

一条直线和一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行



a∥,a?β,α∩β=b?

a∥b

2.平面与平面平行

(1)平面与平面平行的定义

没有公共点的两个平面叫做平行平面.

(2)平面与平面平行的判定定理与性质定理








文字语言

图形表示

符号表示

判定定理

如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行



a?β,b?β,a∩b=P,

a∥α,b∥α?α∥β

性质

两个平面平行,则其中一个平面内的直线平行于另一个平面



α∥β,a?α?a∥β

性质定理

两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行



α∥,α∩γ=a,β∩γ=b?

a∥b

[常用结论与微点提醒]

1.平行关系中的三个重要结论

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行.

(2)平行于同一平面的两个平面平行.

(3)垂直于同一个平面的两条直线平行.

2.三种平行关系的转化



(1)平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想,解题过程中既要注意一般的转化规律,又要看清题目的具体条件,选择正确的转化方向.

(2)在应用判定定理与性质定理时,一定要写全定理满足的条件,否则可能是假命题.

【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)若一条直线和平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.()

(2)若直线a∥平面α,P∈α,则过点P且平行于直线a的直线有无数条.()

(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.()

(4)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.()

答案(1)×(2)×(3)×(4)√

解析(1)若一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行或在平面内,故(1)错误.

(2)若a∥α,P∈α,则过点P且平行于a的直线只有一条,故(2)错误.

(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行或相交,故(3)错误.

2.(人教A必修二P143T1改编)如果直线a∥平面α,那么直线a与平面α内的()

A.一条直线不相交

B.两条直线不相交

C.无数条直线不相交

D.任意一条直线都不相交

答案D

解析因为直线a∥平面α,直线a与平面α无公共点,因此直线a与平面α内的任意一条直线都不相交.

3.(人教A必修二P138例3改编)如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为.



答案 平行四边形


解析因为平面ABFE∥平面DCGH,

又平面EFGH∩平面DCGH=HG,且平面EFGH∩平面ABFE=EF,

所以EF∥HG,同理EH∥FG,

所以四边形EFGH是平行四边形.

4.(人教B必修四P108T3改编)如图,已知α∥β,点P是平面α,β外的一点,直线PA和PC分别与β相交于B和D,若PA=4cm,AB=5cm,PC=3cm,则PD=cm.



答案274

解析因为α∥β,平面PBD∩α=AC,

平面PBD∩β=BD,

由平面与平面平行的性质定理,得AC∥BD,

所以PAPB=PCPD,即49=3PD,故PD=274.



考点一直线与平面平行的判定与性质

角度1直线与平面平行的判定

例1如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,AB∥CD,PD=AD=AB=2,CD=4,E为PC的中点.



求证:BE∥平面PAD.

证明法一如图,取PD的中点F,连接EF,FA.



由题意知EF为△PDC的中位线,

∴EF∥CD,且EF=12CD=2.

又∵AB∥CD,AB=2,CD=4,∴AB綉EF,

∴四边形ABEF为平行四边形,∴BE∥AF.

又AF?平面PAD,BE?平面PAD,

∴BE∥平面PAD.

法二如图,延长DA,CB相交于点H,连接PH,



∵AB∥CD,AB=2,CD=4,

∴HBHC=ABCD=12,即B为HC的中点,

又E为PC的中点,∴BE∥PH,

又BE?平面PAD,PH?平面PAD,

∴BE∥平面PAD.

法三如图,取CD的中点H,连接BH,HE,



∵E为PC的中点,

∴EH∥PD,

又EH?平面PAD,PD?平面PAD,

∴EH∥平面PAD,

又由题意知AB綉DH,

∴四边形ABHD为平行四边形,

∴BH∥AD,

又AD?平面PAD,BH?平面PAD,

∴BH∥平面PAD,

又BH∩EH=H,BH,EH?平面BHE,

∴平面BHE∥平面PAD,

又BE?平面BHE,∴BE∥平面PAD.

角度2直线与平面平行的性质

例2(2025·宜荆荆恩联考)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,E,F分别为线段PD,PC上的点,且PEED=32,若直线BF∥平面AEC,则PFFC=.



答案12

解析连接BD,设AC∩BD=O,



连接DF交CE于点G,连接OG.

由于直线BF∥平面AEC,BF?平面BDF,

平面BDF∩平面AEC=OG,则BF∥OG,

由于O是BD的中点,所以OBOD=GFGD=1,

过F作FH∥CE,交PD于点H,

则EDEH=GDGF=1,由于PEED=32,所以PHHE=12,

所以PFFC=PHHE=12.

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